Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{\cot (3 x)}{\csc (3 x)}$

Этап 1

Применим тригонометрические тождества.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Выразим $\csc (3 x)$ через синусы и косинусы.

$lim_{x \to 0} \frac{\cot (3 x)}{\frac{1}{\sin (3 x)}}$

Этап 1.2

Выразим $\cot (3 x)$ через синусы и косинусы.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}{\frac{1}{\sin (3 x)}}$

Этап 1.3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\sin (3 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)} \sin (3 x)$

Этап 1.4

Запишем $\sin (3 x)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)} \cdot \frac{\sin (3 x)}{1}$

Этап 1.5

Сократим общий множитель $\sin (3 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)} \cdot \frac{\sin (3 x)}{1}$

Этап 1.5.2

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 0} \cos (3 x)$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\cos (lim_{x \to 0} 3 x)$

Этап 2.2

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\cos (3 lim_{x \to 0} x)$

Этап 3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\cos (3 \cdot 0)$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $3$ на $0$ .

$\cos (0)$

Этап 4.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$1$