Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - 1}{2 x^{2}}$

Этап 1

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - 1}{x^{2}}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 2.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 2.1.2.1.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 2.1.2.1.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 2.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (0) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 2.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 2.1.2.3.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 2.1.2.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 2.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Этап 2.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0^{2}}$

Этап 2.1.3.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - 1}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $\cos (x) - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 2.3.3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 2.3.5

Добавим $- \sin (x)$ и $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 2.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x)}{2 x}$

Этап 3

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x)}{x}$

Этап 4

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to 0} - \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 4.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{- lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 4.1.2.1.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{- \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 4.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{- \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 4.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 0}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 4.1.2.3.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 4.1.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{0}$

Этап 4.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{0}$

Этап 4.2

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 4.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 4.3.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \sin (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 4.3.3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 4.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x)}{1}$

Этап 4.4

Разделим $- \cos (x)$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} - \cos (x)$

Этап 5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot - 1 lim_{x \to 0} \cos (x)$

Этап 5.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot - 1 \cos (lim_{x \to 0} x)$

Этап 6

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot - 1 \cos (0)$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot - 1 \cos (0)$

Этап 7.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot - 1 \cos (0)$

Этап 7.2

Объединим $\frac{1}{4}$ и $- 1$ .

$\frac{- 1}{4} \cos (0)$

Этап 7.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{4} \cos (0)$

Этап 7.4

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot 1$

Этап 7.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{1}{4}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{1}{4}$

Десятичная форма:

$- 0.25$