Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x) - \sin (x)}{x \sin (x)}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} \ln (1 + x) - \sin (x)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \ln (1 + x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Этап 1.1.2.2

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 + x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Этап 1.1.2.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Этап 1.1.2.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{\ln (1 + lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Этап 1.1.2.5

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{\ln (1 + lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Этап 1.1.2.6

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\ln (1 + 0) - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Этап 1.1.2.6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\ln (1 + 0) - \sin (0)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Этап 1.1.2.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.7.1.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{\ln (1) - \sin (0)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Этап 1.1.2.7.1.2

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\frac{0 - \sin (0)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Этап 1.1.2.7.1.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Этап 1.1.2.7.1.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Этап 1.1.2.7.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Этап 1.1.3.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 1.1.3.3

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 1.1.3.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sin (0)}$

Этап 1.1.3.4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Этап 1.1.3.4.2

Умножим $0$ на $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.5

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x) - \sin (x)}{x \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x) - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x) - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $\ln (1 + x) - \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Этап 1.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 1 + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $1 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Этап 1.3.3.1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Этап 1.3.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d x} [1 + x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Этап 1.3.3.2

По правилу суммы производная $1 + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Этап 1.3.3.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x} (0 + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Этап 1.3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Этап 1.3.3.5

Добавим $0$ и $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Этап 1.3.3.6

Умножим $\frac{1}{1 + x}$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x} + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \sin (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x} - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Этап 1.3.4.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x} - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Этап 1.3.5

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x} - \cos (x)}{x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.6

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x} - \cos (x)}{x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x} - \cos (x)}{x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1}$

Этап 1.3.8

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x} - \cos (x)}{x \cos (x) + \sin (x)}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} \frac{1}{1 + x} - \cos (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Этап 2.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \frac{1}{1 + x} - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Этап 2.1.2.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 1 + x} - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Этап 2.1.2.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{\frac{1}{lim_{x \to 0} 1 + x} - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Этап 2.1.2.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{\frac{1}{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Этап 2.1.2.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{\frac{1}{1 + lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Этап 2.1.2.6

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{\frac{1}{1 + lim_{x \to 0} x} - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Этап 2.1.2.7

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\frac{1}{1 + 0} - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Этап 2.1.2.7.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\frac{1}{1 + 0} - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Этап 2.1.2.8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.8.1.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{\frac{1}{1} - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Этап 2.1.2.8.1.2

Разделим $1$ на $1$ .

$\frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Этап 2.1.2.8.1.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Этап 2.1.2.8.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Этап 2.1.2.8.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Этап 2.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Этап 2.1.3.2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Этап 2.1.3.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Этап 2.1.3.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 2.1.3.5

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 2.1.3.5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \cos (0) + \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 2.1.3.5.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \cos (0) + \sin (0)}$

Этап 2.1.3.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.6.1.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot 1 + \sin (0)}$

Этап 2.1.3.6.1.2

Умножим $0$ на $1$ .

$\frac{0}{0 + \sin (0)}$

Этап 2.1.3.6.1.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Этап 2.1.3.6.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.6.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.7

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.2

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x} - \cos (x)}{x \cos (x) + \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + x} - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + x} - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $\frac{1}{1 + x} - \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + x}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + x}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Этап 2.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем $\frac{1}{1 + x}$ в виде ${(1 + x)}^{- 1}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(1 + x)}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Этап 2.3.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $1 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + x] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Этап 2.3.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Этап 2.3.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- {(1 + x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Этап 2.3.3.3

По правилу суммы производная $1 + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- {(1 + x)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Этап 2.3.3.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- {(1 + x)}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Этап 2.3.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- {(1 + x)}^{- 2} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Этап 2.3.3.6

Добавим $0$ и $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- {(1 + x)}^{- 2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Этап 2.3.3.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- {(1 + x)}^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Этап 2.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \cos (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- {(1 + x)}^{- 2} - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Этап 2.3.4.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- {(1 + x)}^{- 2} - - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Этап 2.3.4.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- {(1 + x)}^{- 2} + 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Этап 2.3.4.4

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- {(1 + x)}^{- 2} + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Этап 2.3.5

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Этап 2.3.6

По правилу суммы производная $x \cos (x) + \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Этап 2.3.7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} + \sin (x)}{x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Этап 2.3.7.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} + \sin (x)}{x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Этап 2.3.7.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} + \sin (x)}{x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Этап 2.3.7.4

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} + \sin (x)}{x (- \sin (x)) + \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Этап 2.3.8

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} + \sin (x)}{x (- \sin (x)) + \cos (x) + \cos (x)}$

Этап 2.3.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.9.1

Добавим $\cos (x)$ и $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} + \sin (x)}{x (- \sin (x)) + 2 \cos (x)}$

Этап 2.3.9.2

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} + \sin (x)}{- x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} - \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} + \sin (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Этап 3.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{- lim_{x \to 0} \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Этап 3.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{- \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} {(1 + x)}^{2}} + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Этап 3.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{- \frac{1}{lim_{x \to 0} {(1 + x)}^{2}} + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Этап 3.5

Вынесем степень $2$ в выражении ${(1 + x)}^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{- \frac{1}{{(lim_{x \to 0} 1 + x)}^{2}} + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Этап 3.6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{- \frac{1}{{(lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} x)}^{2}} + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Этап 3.7

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{- \frac{1}{{(1 + lim_{x \to 0} x)}^{2}} + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Этап 3.8

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{- \frac{1}{{(1 + lim_{x \to 0} x)}^{2}} + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Этап 3.9

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{- \frac{1}{{(1 + lim_{x \to 0} x)}^{2}} + \sin (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \sin (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}$

Этап 3.10

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{- \frac{1}{{(1 + lim_{x \to 0} x)}^{2}} + \sin (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}$

Этап 3.11

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{- \frac{1}{{(1 + lim_{x \to 0} x)}^{2}} + \sin (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}$

Этап 3.12

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- \frac{1}{{(1 + lim_{x \to 0} x)}^{2}} + \sin (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Этап 3.13

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{- \frac{1}{{(1 + lim_{x \to 0} x)}^{2}} + \sin (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 4

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{- \frac{1}{{(1 + 0)}^{2}} + \sin (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{- \frac{1}{{(1 + 0)}^{2}} + \sin (0)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 4.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{- \frac{1}{{(1 + 0)}^{2}} + \sin (0)}{0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 4.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{- \frac{1}{{(1 + 0)}^{2}} + \sin (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 4.5

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{- \frac{1}{{(1 + 0)}^{2}} + \sin (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by ${(1 + 0)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Умножим $\frac{- \frac{1}{{(1 + 0)}^{2}} + \sin (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$ на $\frac{{(1 + 0)}^{2}}{{(1 + 0)}^{2}}$ .

$\frac{{(1 + 0)}^{2}}{{(1 + 0)}^{2}} \cdot \frac{- \frac{1}{{(1 + 0)}^{2}} + \sin (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Этап 5.1.2

Объединим.

$\frac{{(1 + 0)}^{2} (- \frac{1}{{(1 + 0)}^{2}} + \sin (0))}{{(1 + 0)}^{2} (0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0))}$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{{(1 + 0)}^{2} (- \frac{1}{{(1 + 0)}^{2}}) + {(1 + 0)}^{2} \sin (0)}{{(1 + 0)}^{2} (0 \cdot \sin (0)) + {(1 + 0)}^{2} (2 \cos (0))}$

Этап 5.3

Сократим общий множитель ${(1 + 0)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{{(1 + 0)}^{2}}$ в числитель.

$\frac{{(1 + 0)}^{2} \frac{- 1}{{(1 + 0)}^{2}} + {(1 + 0)}^{2} \sin (0)}{{(1 + 0)}^{2} (0 \cdot \sin (0)) + {(1 + 0)}^{2} (2 \cos (0))}$

Этап 5.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{{(1 + 0)}^{2} \frac{- 1}{{(1 + 0)}^{2}} + {(1 + 0)}^{2} \sin (0)}{{(1 + 0)}^{2} (0 \cdot \sin (0)) + {(1 + 0)}^{2} (2 \cos (0))}$

Этап 5.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1 + {(1 + 0)}^{2} \sin (0)}{{(1 + 0)}^{2} (0 \cdot \sin (0)) + {(1 + 0)}^{2} (2 \cos (0))}$

Этап 5.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{- 1 + 1^{2} \sin (0)}{{(1 + 0)}^{2} \cdot 0 \cdot \sin (0) + {(1 + 0)}^{2} \cdot 2 \cos (0)}$

Этап 5.4.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{- 1 + 1 \sin (0)}{{(1 + 0)}^{2} \cdot 0 \cdot \sin (0) + {(1 + 0)}^{2} \cdot 2 \cos (0)}$

Этап 5.4.3

Умножим $\sin (0)$ на $1$ .

$\frac{- 1 + \sin (0)}{{(1 + 0)}^{2} \cdot 0 \cdot \sin (0) + {(1 + 0)}^{2} \cdot 2 \cos (0)}$

Этап 5.4.4

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{- 1 + 0}{{(1 + 0)}^{2} \cdot 0 \cdot \sin (0) + {(1 + 0)}^{2} \cdot 2 \cos (0)}$

Этап 5.4.5

Добавим $- 1$ и $0$ .

$\frac{- 1}{{(1 + 0)}^{2} \cdot 0 \cdot \sin (0) + {(1 + 0)}^{2} \cdot 2 \cos (0)}$

Этап 5.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{- 1}{1^{2} \cdot 0 \cdot \sin (0) + {(1 + 0)}^{2} \cdot 2 \cos (0)}$

Этап 5.5.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{- 1}{1 \cdot 0 \cdot \sin (0) + {(1 + 0)}^{2} \cdot 2 \cos (0)}$

Этап 5.5.3

Умножим $0$ на $1$ .

$\frac{- 1}{0 \cdot \sin (0) + {(1 + 0)}^{2} \cdot 2 \cos (0)}$

Этап 5.5.4

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{- 1}{0 \cdot 0 + {(1 + 0)}^{2} \cdot 2 \cos (0)}$

Этап 5.5.5

Умножим $0$ на $0$ .

$\frac{- 1}{0 + {(1 + 0)}^{2} \cdot 2 \cos (0)}$

Этап 5.5.6

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{- 1}{0 + 1^{2} \cdot 2 \cos (0)}$

Этап 5.5.7

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{- 1}{0 + 1 \cdot 2 \cos (0)}$

Этап 5.5.8

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{- 1}{0 + 2 \cos (0)}$

Этап 5.5.9

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{- 1}{0 + 2 \cdot 1}$

Этап 5.5.10

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{- 1}{0 + 2}$

Этап 5.5.11

Добавим $0$ и $2$ .

$\frac{- 1}{2}$

Этап 5.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{2}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{1}{2}$

Десятичная форма:

$- 0.5$