Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (11 x)}{\tan (x)}$

Этап 1

Применим тригонометрические тождества.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (11 x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 1.2

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (11 x) \cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 1.3

Переведем $\frac{\sin (11 x) \cos (x)}{\sin (x)}$ в $\sin (11 x) \cot (x)$ .

$lim_{x \to 0} \sin (11 x) \cot (x)$

Этап 2

Рассмотрим левосторонний предел.

$lim_{x \to 0^{-}} \sin (11 x) \cot (x)$

Этап 3

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $\sin (11 x) \cot (x)$ , когда $x$ стремится к $0$ слева.

$\begin{array}{c} x & \sin (11 x) \cot (x) \\ - 0.1 & 8.88234686 \\ - 0.01 & 10.97746415 \\ - 0.001 & 10.9997745 \\ - 0.0001 & 10.99999774 \end{array}$

Этап 4

Если значения $x$ стремятся к $0$ , значения функции стремятся к $11$ . Таким образом, предел $\sin (11 x) \cot (x)$ , когда $x$ стремится к $0$ слева, равен $11$ .

$11$

Этап 5

Рассмотрим правосторонний предел.

$lim_{x \to 0^{+}} \sin (11 x) \cot (x)$

Этап 6

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $\sin (11 x) \cot (x)$ , когда $x$ стремится к $0$ справа.

$\begin{array}{c} x & \sin (11 x) \cot (x) \\ 0.1 & 8.88234686 \\ 0.01 & 10.97746415 \\ 0.001 & 10.9997745 \\ 0.0001 & 10.99999774 \end{array}$

Этап 7

Если значения $x$ стремятся к $0$ , значения функции стремятся к $11$ . Таким образом, предел $\sin (11 x) \cot (x)$ , когда $x$ стремится к $0$ справа, равен $11$ .

$11$