Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{6 x^{2}}{\cos (x) - 1}$

Этап 1

Вынесем член $6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\cos (x) - 1}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$6 \frac{lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

Этап 2.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$6 \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

Этап 2.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$6 \frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

Этап 2.1.2.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$6 \frac{0}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

Этап 2.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$6 \frac{0}{lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} 1}$

Этап 2.1.3.1.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$6 \frac{0}{\cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 1}$

Этап 2.1.3.1.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$6 \frac{0}{\cos (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}$

Этап 2.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$6 \frac{0}{\cos (0) - 1 \cdot 1}$

Этап 2.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.3.1.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$6 \frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Этап 2.1.3.3.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$6 \frac{0}{1 - 1}$

Этап 2.1.3.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$6 (\frac{0}{0})$

Этап 2.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$6 (\frac{0}{0})$

Этап 2.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$6 (\frac{0}{0})$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$6 (\frac{0}{0})$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\cos (x) - 1} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$6 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

Этап 2.3.3

По правилу суммы производная $\cos (x) - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 2.3.4

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{- \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 2.3.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{- \sin (x) + 0}$

Этап 2.3.6

Добавим $- \sin (x)$ и $0$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{- \sin (x)}$

Этап 3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$6 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{x}{- \sin (x)}$

Этап 4

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$6 \cdot 2 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} - \sin (x)}$

Этап 4.1.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$6 \cdot 2 \frac{0}{lim_{x \to 0} - \sin (x)}$

Этап 4.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1.1

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$6 \cdot 2 \frac{0}{- lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Этап 4.1.3.1.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$6 \cdot 2 \frac{0}{- \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 4.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$6 \cdot 2 \frac{0}{- \sin (0)}$

Этап 4.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.3.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$6 \cdot 2 \frac{0}{- 0}$

Этап 4.1.3.3.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$6 \cdot 2 \frac{0}{0}$

Этап 4.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$6 \cdot 2 \frac{0}{0}$

Этап 4.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$6 \cdot 2 \frac{0}{0}$

Этап 4.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$6 \cdot 2 \frac{0}{0}$

Этап 4.2

$lim_{x \to 0} \frac{x}{- \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Этап 4.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$6 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Этап 4.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Этап 4.3.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \sin (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$6 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{- \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Этап 4.3.4

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$6 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{- \cos (x)}$

Этап 4.4

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$6 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{- 1 (- 1)}{- \cos (x)}$

Этап 4.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$6 \cdot 2 lim_{x \to 0} - \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$6 \cdot 2 \cdot - 1 lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 5.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$6 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Этап 5.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$6 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Этап 5.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$6 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 6

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$6 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{\cos (0)}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $6 \cdot 2 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Умножим $6$ на $2$ .

$12 \cdot - 1 \frac{1}{\cos (0)}$

Этап 7.1.2

Умножим $12$ на $- 1$ .

$- 12 \frac{1}{\cos (0)}$

Этап 7.2

Переведем $\frac{1}{\cos (0)}$ в $\sec (0)$ .

$- 12 \sec (0)$

Этап 7.3

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$- 12 \cdot 1$

Этап 7.4

Умножим $- 12$ на $1$ .

$- 12$