Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 5 \sin (x)}{x}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} 2 x - 5 \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 2 x - lim_{x \to 0} 5 \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 5 \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.3

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 0} x - 5 lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{2 lim_{x \to 0} x - 5 \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.5

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 5 \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 5 \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1.1

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{0 - 5 \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.6.1.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0 - 5 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.6.1.3

Умножим $- 5$ на $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.6.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 5 \sin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x - 5 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x - 5 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $2 x - 5 \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5 \sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 + \frac{d}{d x} [- 5 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 \sin (x)$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 - 5 \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.4.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 - 5 \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 - 5 \cos (x)}{1}$

Этап 1.4

Разделим $2 - 5 \cos (x)$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} 2 - 5 \cos (x)$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} 5 \cos (x)$

Этап 2.2

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$2 - lim_{x \to 0} 5 \cos (x)$

Этап 2.3

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 - 5 lim_{x \to 0} \cos (x)$

Этап 2.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$2 - 5 \cos (lim_{x \to 0} x)$

Этап 3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$2 - 5 \cos (0)$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$2 - 5 \cdot 1$

Этап 4.1.2

Умножим $- 5$ на $1$ .

$2 - 5$

Этап 4.2

Вычтем $5$ из $2$ .

$- 3$