Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{10 x \cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 1

Переведем $\frac{10 x \cos (x)}{\sin (x)}$ в $10 x \cot (x)$ .

$lim_{x \to 0} 10 x \cot (x)$

Этап 2

Вынесем член $10$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$10 lim_{x \to 0} x \cot (x)$

Этап 3

Рассмотрим левосторонний предел.

$lim_{x \to 0^{-}} x \cot (x)$

Этап 4

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $x \cot (x)$ , когда $x$ стремится к $0$ слева.

$\begin{array}{c} x & x \cot (x) \\ - 0.1 & 0.99666444 \\ - 0.01 & 0.99996666 \\ - 0.001 & 0.99999966 \end{array}$

Этап 5

Если значения $x$ стремятся к $0$ , значения функции стремятся к $1$ . Таким образом, предел $x \cot (x)$ , когда $x$ стремится к $0$ слева, равен $1$ .

$1$

Этап 6

Рассмотрим правосторонний предел.

$lim_{x \to 0^{+}} x \cot (x)$

Этап 7

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $x \cot (x)$ , когда $x$ стремится к $0$ справа.

$\begin{array}{c} x & x \cot (x) \\ 0.1 & 0.99666444 \\ 0.01 & 0.99996666 \\ 0.001 & 0.99999966 \end{array}$

Этап 8

Если значения $x$ стремятся к $0$ , значения функции стремятся к $1$ . Таким образом, предел $x \cot (x)$ , когда $x$ стремится к $0$ справа, равен $1$ .

$10 \cdot 1$

Этап 9

Умножим $10$ на $1$ .

$10$