Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{2 x^{2}}{\cos (x - 1)}$

Этап 1

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\cos (x - 1)}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$2 \frac{lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} \cos (x - 1)}$

Этап 3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$2 \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} \cos (x - 1)}$

Этап 4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$2 \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{\cos (lim_{x \to 0} x - 1)}$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$2 \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{\cos (lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 1)}$

Этап 6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$2 \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{\cos (lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1)}$

Этап 7

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$2 \frac{0^{2}}{\cos (lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1)}$

Этап 7.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$2 \frac{0^{2}}{\cos (0 - 1 \cdot 1)}$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим дроби.

$2 (\frac{0^{2}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (0 - 1 \cdot 1)})$

Этап 8.2

Переведем $\frac{1}{\cos (0 - 1 \cdot 1)}$ в $\sec (0 - 1 \cdot 1)$ .

$2 (\frac{0^{2}}{1} \sec (0 - 1 \cdot 1))$

Этап 8.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 (\frac{0^{2}}{1} \sec (0 - 1))$

Этап 8.4

Разделим $0^{2}$ на $1$ .

$2 (0^{2} \sec (0 - 1))$

Этап 8.5

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$2 (0 \sec (0 - 1))$

Этап 8.6

Вычтем $1$ из $0$ .

$2 (0 \sec (- 1))$

Этап 8.7

Найдем значение $\sec (- 1)$ .

$2 (0 \cdot 1.00015232)$

Этап 8.8

Умножим $2 (0 \cdot 1.00015232)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.8.1

Умножим $0$ на $1.00015232$ .

$2 \cdot 0$

Этап 8.8.2

Умножим $2$ на $0$ .

$0$