Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{2 - \sqrt{4 - x}}{x}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} 2 - \sqrt{4 - x}}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} \sqrt{4 - x}}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{2 - lim_{x \to 0} \sqrt{4 - x}}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.3

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{2 - \sqrt{lim_{x \to 0} 4 - x}}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{2 - \sqrt{lim_{x \to 0} 4 - lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.5

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{2 - \sqrt{4 - lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{2 - \sqrt{4 + 0}}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.6.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.2.1.1

Добавим $4$ и $0$ .

$\frac{2 - \sqrt{4}}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.6.2.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{2 - \sqrt{2^{2}}}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.6.2.1.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.6.2.1.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.6.2.2

Вычтем $2$ из $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{2 - \sqrt{4 - x}}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{4 - x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{4 - x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $2 - \sqrt{4 - x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{4 - x}$ в виде ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.4.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.4.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 4 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 - x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 - x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.4.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.4.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 - x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.4.4

По правилу суммы производная $4 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.4.5

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x]))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.4.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.4.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.4.8

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.4.9

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.4.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.4.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.11.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.4.11.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.4.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.4.13

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.4.14

Вычтем $1$ из $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.4.15

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{{(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.4.16

Объединим $\frac{{(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ и $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{{(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.4.17

Перенесем $- 1$ влево от ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{- 1 \cdot {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.4.18

Перепишем $- 1 {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ в виде $- {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{- {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.4.19

Перенесем ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{- 1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.4.20

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 0} \frac{0 - - \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.4.21

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 1 \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.4.22

Умножим $\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.5

Добавим $0$ и $\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Этап 1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Этап 1.5

Перепишем ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{4 - x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{4 - x}} \cdot 1$

Этап 1.6

Умножим $\frac{1}{2 \sqrt{4 - x}}$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{4 - x}}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{4 - x}}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{4 - x}}$

Этап 2.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{4 - x}}$

Этап 2.4

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 4 - x}}$

Этап 2.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 4 - lim_{x \to 0} x}}$

Этап 2.6

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{4 - lim_{x \to 0} x}}$

Этап 2.7

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{4 + 0}}$

Этап 2.7.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1.1

Добавим $4$ и $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{4}}$

Этап 2.7.2.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 2.7.2.1.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 2.7.2.2

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2}$

Этап 2.7.2.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{4}$

Этап 3

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{4}$

Десятичная форма:

$0.25$