Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{2}{x \csc (x)}$

Этап 1

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{x \csc (x)}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$2 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x \csc (x)}$

Этап 3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$2 \frac{1}{lim_{x \to 0} x \csc (x)}$

Этап 4

Рассмотрим левосторонний предел.

$lim_{x \to 0^{-}} x \csc (x)$

Этап 5

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $x \csc (x)$ , когда $x$ стремится к $0$ слева.

$\begin{array}{c} x & x \csc (x) \\ - 0.1 & 1.00166861 \\ - 0.01 & 1.00001666 \\ - 0.001 & 1.00000016 \end{array}$

Этап 6

Если значения $x$ стремятся к $0$ , значения функции стремятся к $1$ . Таким образом, предел $x \csc (x)$ , когда $x$ стремится к $0$ слева, равен $1$ .

$1$

Этап 7

Рассмотрим правосторонний предел.

$lim_{x \to 0^{+}} x \csc (x)$

Этап 8

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $x \csc (x)$ , когда $x$ стремится к $0$ справа.

$\begin{array}{c} x & x \csc (x) \\ 0.1 & 1.00166861 \\ 0.01 & 1.00001666 \\ 0.001 & 1.00000016 \end{array}$

Этап 9

Если значения $x$ стремятся к $0$ , значения функции стремятся к $1$ . Таким образом, предел $x \csc (x)$ , когда $x$ стремится к $0$ справа, равен $1$ .

$2 (\frac{1}{1})$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{1}{1})$

Этап 10.1.2

Перепишем это выражение.

$2 \cdot 1$

Этап 10.2

Умножим $2$ на $1$ .

$2$