Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\cot (5 x)}$

Этап 1

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{x}{\cot (5 x)}$

Этап 2

Рассмотрим левосторонний предел.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{\cot (5 x)}$

Этап 3

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $\frac{x}{\cot (5 x)}$ , когда $x$ стремится к $0$ слева.

$\begin{array}{c} x & \frac{x}{\cot (5 x)} \\ - 0.1 & 0.05463024 \\ - 0.01 & 0.00050041 \\ - 0.001 & 0.000005 \\ - 0.0001 & 0.00000005 \end{array}$

Этап 4

Если значения $x$ стремятся к $0$ , значения функции стремятся к $0$ . Таким образом, предел $\frac{x}{\cot (5 x)}$ , когда $x$ стремится к $0$ слева, равен $0$ .

$0$

Этап 5

Рассмотрим правосторонний предел.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{\cot (5 x)}$

Этап 6

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $\frac{x}{\cot (5 x)}$ , когда $x$ стремится к $0$ справа.

$\begin{array}{c} x & \frac{x}{\cot (5 x)} \\ 0.1 & 0.05463024 \\ 0.01 & 0.00050041 \\ 0.001 & 0.000005 \\ 0.0001 & 0.00000005 \end{array}$

Этап 7

Если значения $x$ стремятся к $0$ , значения функции стремятся к $0$ . Таким образом, предел $\frac{x}{\cot (5 x)}$ , когда $x$ стремится к $0$ справа, равен $0$ .

$2 \cdot 0$

Этап 8

Умножим $2$ на $0$ .

$0$