Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{2} + 7 x - 9}{- 6 x^{2} + 2}$

Этап 1

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{7 x}{x^{2}} + \frac{- 9}{x^{2}}}{\frac{- 6 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{7 x}{x^{2}} + \frac{- 9}{x^{2}}}{\frac{- 6 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}$

Этап 2.1.1.2

Разделим $5$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{7 x}{x^{2}} + \frac{- 9}{x^{2}}}{\frac{- 6 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}$

Этап 2.1.2

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $7 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{x \cdot 7}{x^{2}} + \frac{- 9}{x^{2}}}{\frac{- 6 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}$

Этап 2.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{x \cdot 7}{x \cdot x} + \frac{- 9}{x^{2}}}{\frac{- 6 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}$

Этап 2.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{x \cdot 7}{x \cdot x} + \frac{- 9}{x^{2}}}{\frac{- 6 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}$

Этап 2.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{7}{x} + \frac{- 9}{x^{2}}}{\frac{- 6 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}$

Этап 2.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{7}{x} - \frac{9}{x^{2}}}{\frac{- 6 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}$

Этап 2.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{7}{x} - \frac{9}{x^{2}}}{\frac{- 6 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}$

Этап 2.2.2

Разделим $- 6$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{7}{x} - \frac{9}{x^{2}}}{- 6 + \frac{2}{x^{2}}}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 5 + \frac{7}{x} - \frac{9}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} - 6 + \frac{2}{x^{2}}}$

Этап 2.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 5 + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{9}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} - 6 + \frac{2}{x^{2}}}$

Этап 2.5

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{5 + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{9}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} - 6 + \frac{2}{x^{2}}}$

Этап 2.6

Вынесем член $7$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{5 + 7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{9}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} - 6 + \frac{2}{x^{2}}}$

Этап 3

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x}$ стремится к $0$ .

$\frac{5 + 7 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} \frac{9}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} - 6 + \frac{2}{x^{2}}}$

Этап 4

Вынесем член $9$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{5 + 7 \cdot 0 - 9 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} - 6 + \frac{2}{x^{2}}}$

Этап 5

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{2}}$ стремится к $0$ .

$\frac{5 + 7 \cdot 0 - 9 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} - 6 + \frac{2}{x^{2}}}$

Этап 6

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{5 + 7 \cdot 0 - 9 \cdot 0}{- lim_{x \to \infty} 6 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{2}}}$

Этап 6.2

Найдем предел $6$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{5 + 7 \cdot 0 - 9 \cdot 0}{- 1 \cdot 6 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{2}}}$

Этап 6.3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{5 + 7 \cdot 0 - 9 \cdot 0}{- 6 + 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 7

$\frac{5 + 7 \cdot 0 - 9 \cdot 0}{- 6 + 2 \cdot 0}$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Умножим $7$ на $0$ .

$\frac{5 + 0 - 9 \cdot 0}{- 6 + 2 \cdot 0}$

Этап 8.1.2

Умножим $- 9$ на $0$ .

$\frac{5 + 0 + 0}{- 6 + 2 \cdot 0}$

Этап 8.1.3

Добавим $5 + 0$ и $0$ .

$\frac{5 + 0}{- 6 + 2 \cdot 0}$

Этап 8.1.4

Добавим $5$ и $0$ .

$\frac{5}{- 6 + 2 \cdot 0}$

Этап 8.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{5}{- 6 + 0}$

Этап 8.2.2

Добавим $- 6$ и $0$ .

$\frac{5}{- 6}$

Этап 8.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{5}{6}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{5}{6}$

Десятичная форма:

$- 0.8\overline{3}$