Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - x^{2}}{4 x^{2} - x - 2}$

Этап 1

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x^{2}} - \frac{x^{2}}{x^{2}}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} - \frac{x}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x^{2}} - \frac{x^{2}}{x^{2}}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} - \frac{x}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}}$

Этап 2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x^{2}} - 1 \cdot 1}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} - \frac{x}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}}$

Этап 2.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x^{2}} - 1}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} - \frac{x}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}}$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x^{2}} - 1}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} - \frac{x}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}}$

Этап 2.2.1.2

Разделим $4$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x^{2}} - 1}{4 - \frac{x}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}}$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x^{2}} - 1}{4 - \frac{x^{1}}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}}$

Этап 2.2.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x^{2}} - 1}{4 - \frac{x \cdot 1}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}}$

Этап 2.2.2.3

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x^{2}} - 1}{4 - \frac{x \cdot 1}{x \cdot x} + \frac{- 2}{x^{2}}}$

Этап 2.2.2.3.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x^{2}} - 1}{4 - \frac{x \cdot 1}{x \cdot x} + \frac{- 2}{x^{2}}}$

Этап 2.2.2.3.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x^{2}} - 1}{4 - \frac{1}{x} + \frac{- 2}{x^{2}}}$

Этап 2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x^{2}} - 1}{4 - \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} - 1}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}}$

Этап 2.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}}$

Этап 2.5

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}}$

Этап 3

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{2}}$ стремится к $0$ .

$\frac{4 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{4 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}}$

Этап 4.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{4 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \infty} 4 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{2}}}$

Этап 4.3

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{4 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{4 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{2}}}$

Этап 5

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x}$ стремится к $0$ .

$\frac{4 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{4 - 0 - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{2}}}$

Этап 6

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{4 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{4 - 0 - 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 7

$\frac{4 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{4 - 0 - 2 \cdot 0}$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Умножим $4$ на $0$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 1}{4 - 0 - 2 \cdot 0}$

Этап 8.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0 - 1}{4 - 0 - 2 \cdot 0}$

Этап 8.1.3

Вычтем $1$ из $0$ .

$\frac{- 1}{4 - 0 - 2 \cdot 0}$

Этап 8.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{- 1}{4 + 0 - 2 \cdot 0}$

Этап 8.2.2

Умножим $- 2$ на $0$ .

$\frac{- 1}{4 + 0 + 0}$

Этап 8.2.3

Добавим $4 + 0$ и $0$ .

$\frac{- 1}{4 + 0}$

Этап 8.2.4

Добавим $4$ и $0$ .

$\frac{- 1}{4}$

Этап 8.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{4}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{1}{4}$

Десятичная форма:

$- 0.25$