Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{4} - 3 x^{2} + 3}{4 x^{3} + 2 x + 1}$

Этап 1

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{4}}{x^{3}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{2 x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Сократим общий множитель $x^{4}$ и $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} x}{x^{3}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{2 x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 2.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.2.1

Умножим на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} x}{x^{3} \cdot 1} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{2 x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} x}{x^{3} \cdot 1} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{2 x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{1} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{2 x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 2.1.1.2.4

Разделим $x$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{2 x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 2.1.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 3 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x + \frac{x^{2} \cdot - 3}{x^{3}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{2 x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 2.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x + \frac{x^{2} \cdot - 3}{x^{2} x} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{2 x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 2.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{x + \frac{x^{2} \cdot - 3}{x^{2} x} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{2 x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 2.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{x + \frac{- 3}{x} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{2 x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 2.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to \infty} \frac{x - \frac{3}{x} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{2 x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{x - \frac{3}{x} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{2 x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 2.2.1.2

Разделим $4$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x - \frac{3}{x} + \frac{3}{x^{3}}}{4 + \frac{2 x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель $x$ и $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x - \frac{3}{x} + \frac{3}{x^{3}}}{4 + \frac{x \cdot 2}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 2.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x - \frac{3}{x} + \frac{3}{x^{3}}}{4 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 2.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{x - \frac{3}{x} + \frac{3}{x^{3}}}{4 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 2.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{x - \frac{3}{x} + \frac{3}{x^{3}}}{4 + \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 3

Когда $x$ стремится к $\infty$ , дробь $\frac{3}{x}$ стремится к $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 0 + \frac{3}{x^{3}}}{4 + \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 4

Когда $x$ стремится к $\infty$ , дробь $\frac{3}{x^{3}}$ стремится к $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 0 + 0}{4 + \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 5

Когда $x$ стремится к $\infty$ , дробь $\frac{2}{x^{2}}$ стремится к $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 0 + 0}{4 + 0 + \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 6

Когда $x$ стремится к $\infty$ , дробь $\frac{1}{x^{3}}$ стремится к $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 0 + 0}{4 + 0 + 0}$

Этап 7

Так как числитель не ограничен, когда знаменатель стремится к постоянному числу, дробь $\frac{x - 0 + 0}{4 + 0 + 0}$ стремится к бесконечности.

$\infty$