Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4 x^{6} - x}}{x^{3} + 2}$

Этап 1

Вынесем множитель $x$ из $4 x^{6} - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $x$ из $4 x^{6}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x (4 x^{5}) - x}}{x^{3} + 2}$

Этап 1.2

Вынесем множитель $x$ из $- x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x (4 x^{5}) + x \cdot - 1}}{x^{3} + 2}$

Этап 1.3

Вынесем множитель $x$ из $x (4 x^{5}) + x \cdot - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x (4 x^{5} - 1)}}{x^{3} + 2}$

Этап 2

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $\sqrt{x^{6}} = x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (4 x^{5} - 1)}{x^{6}}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{2}{x^{3}}}$

Этап 3

Сократим общий множитель $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (4 x^{5} - 1)}{x^{6}}}}{1 + \frac{2}{x^{3}}}$

Этап 4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{6}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (4 x^{5} - 1)}{x \cdot x^{5}}}}{1 + \frac{2}{x^{3}}}$

Этап 4.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (4 x^{5} - 1)}{x \cdot x^{5}}}}{1 + \frac{2}{x^{3}}}$

Этап 4.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{4 x^{5} - 1}{x^{5}}}}{1 + \frac{2}{x^{3}}}$

Этап 5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{4 x^{5} - 1}{x^{5}}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{2}{x^{3}}}$

Этап 5.2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{5} - 1}{x^{5}}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{2}{x^{3}}}$

Этап 6

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x^{5}$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x^{5}}{x^{5}} - \frac{1}{x^{5}}}{\frac{x^{5}}{x^{5}}}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{2}{x^{3}}}$

Этап 7

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сократим общий множитель $x^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x^{5}}{x^{5}} - \frac{1}{x^{5}}}{\frac{x^{5}}{x^{5}}}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{2}{x^{3}}}$

Этап 7.1.2

Разделим $4$ на $1$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{1}{x^{5}}}{\frac{x^{5}}{x^{5}}}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{2}{x^{3}}}$

Этап 7.2

Сократим общий множитель $x^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{1}{x^{5}}}{\frac{x^{5}}{x^{5}}}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{2}{x^{3}}}$

Этап 7.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{1}{x^{5}}}{1}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{2}{x^{3}}}$

Этап 7.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{1}{x^{5}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{2}{x^{3}}}$

Этап 7.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 4 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{5}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{2}{x^{3}}}$

Этап 7.5

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{4 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{5}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{2}{x^{3}}}$

Этап 8

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{5}}$ стремится к $0$ .

$\frac{\sqrt{\frac{4 - 0}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{2}{x^{3}}}$

Этап 9

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{4 - 0}{1}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{2}{x^{3}}}$

Этап 9.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{4 - 0}{1}}}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{3}}}$

Этап 9.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{4 - 0}{1}}}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{3}}}$

Этап 9.4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sqrt{\frac{4 - 0}{1}}}{1 + 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 10

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{3}}$ стремится к $0$ .

$\frac{\sqrt{\frac{4 - 0}{1}}}{1 + 2 \cdot 0}$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Разделим $4 - 0$ на $1$ .

$\frac{\sqrt{4 - 0}}{1 + 2 \cdot 0}$

Этап 11.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{\sqrt{4 + 0}}{1 + 2 \cdot 0}$

Этап 11.2.2

Добавим $4$ и $0$ .

$\frac{\sqrt{4}}{1 + 2 \cdot 0}$

Этап 11.2.3

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2}}}{1 + 2 \cdot 0}$

Этап 11.2.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{2}{1 + 2 \cdot 0}$

Этап 11.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{2}{1 + 0}$

Этап 11.3.2

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{2}{1}$

Этап 11.4

Разделим $2$ на $1$ .

$2$