Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{x + \sin (2 x)}{x - \sin (2 x)}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} x + \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} x - \sin (2 x)}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} x - \sin (2 x)}$

Этап 1.1.2.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{lim_{x \to 0} x + \sin (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} x - \sin (2 x)}$

Этап 1.1.2.3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + \sin (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x - \sin (2 x)}$

Этап 1.1.2.4

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0 + \sin (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x - \sin (2 x)}$

Этап 1.1.2.4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0 + \sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x - \sin (2 x)}$

Этап 1.1.2.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1.1

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{0 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x - \sin (2 x)}$

Этап 1.1.2.5.1.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x - \sin (2 x)}$

Этап 1.1.2.5.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - \sin (2 x)}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Этап 1.1.3.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - \sin (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Этап 1.1.3.3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - \sin (2 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 1.1.3.4

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0 - \sin (2 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 1.1.3.4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0 - \sin (2 \cdot 0)}$

Этап 1.1.3.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.5.1.1

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{0}{0 - \sin (0)}$

Этап 1.1.3.5.1.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{0 - 0}$

Этап 1.1.3.5.1.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Этап 1.1.3.5.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.5.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.6

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{x + \sin (2 x)}{x - \sin (2 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x + \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (2 x)]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x + \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (2 x)]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $x + \sin (2 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (2 x)]}$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (2 x)]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (2 x)]}$

Этап 1.3.4.1.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (2 x)]}$

Этап 1.3.4.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (2 x)]}$

Этап 1.3.4.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x - \sin (2 x)]}$

Этап 1.3.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \cos (2 x) (2 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x - \sin (2 x)]}$

Этап 1.3.4.4

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \cos (2 x) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x - \sin (2 x)]}$

Этап 1.3.4.5

Перенесем $2$ влево от $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 \cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [x - \sin (2 x)]}$

Этап 1.3.5

По правилу суммы производная $x - \sin (2 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 \cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]}$

Этап 1.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 \cos (2 x)}{1 + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]}$

Этап 1.3.7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \sin (2 x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 \cos (2 x)}{1 - \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Этап 1.3.7.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 \cos (2 x)}{1 - (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])}$

Этап 1.3.7.2.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 \cos (2 x)}{1 - (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])}$

Этап 1.3.7.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 \cos (2 x)}{1 - (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}$

Этап 1.3.7.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 \cos (2 x)}{1 - (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))}$

Этап 1.3.7.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 \cos (2 x)}{1 - (\cos (2 x) (2 \cdot 1))}$

Этап 1.3.7.5

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 \cos (2 x)}{1 - (\cos (2 x) \cdot 2)}$

Этап 1.3.7.6

Перенесем $2$ влево от $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 \cos (2 x)}{1 - (2 \cdot \cos (2 x))}$

Этап 1.3.7.7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 \cos (2 x)}{1 - 2 \cos (2 x)}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1 + 2 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} 1 - 2 \cos (2 x)}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} 1 - 2 \cos (2 x)}$

Этап 2.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1 + lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} 1 - 2 \cos (2 x)}$

Этап 2.4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1 + 2 lim_{x \to 0} \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} 1 - 2 \cos (2 x)}$

Этап 2.5

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1 + 2 \cos (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} 1 - 2 \cos (2 x)}$

Этап 2.6

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1 + 2 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - 2 \cos (2 x)}$

Этап 2.7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1 + 2 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x)}$

Этап 2.8

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1 + 2 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{1 - lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x)}$

Этап 2.9

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1 + 2 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{1 - 2 lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Этап 2.10

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1 + 2 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{1 - 2 \cos (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Этап 2.11

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1 + 2 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{1 - 2 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1 + 2 \cos (2 \cdot 0)}{1 - 2 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1 + 2 \cos (2 \cdot 0)}{1 - 2 \cos (2 \cdot 0)}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{1 + 2 \cos (0)}{1 - 2 \cos (2 \cdot 0)}$

Этап 4.1.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1 + 2 \cdot 1}{1 - 2 \cos (2 \cdot 0)}$

Этап 4.1.3

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{1 + 2}{1 - 2 \cos (2 \cdot 0)}$

Этап 4.1.4

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{3}{1 - 2 \cos (2 \cdot 0)}$

Этап 4.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{3}{1 - 2 \cos (0)}$

Этап 4.2.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{3}{1 - 2 \cdot 1}$

Этап 4.2.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{3}{1 - 2}$

Этап 4.2.4

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{3}{- 1}$

Этап 4.3

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{3}{- 1}$ .

$- 1 \cdot 3$

Этап 4.4

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 3$