Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\infty} e^{- 2 x} d x$

Этап 1

Запишем интеграл в виде предела, когда $t$ стремится к $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} e^{- 2 x} d x$

Этап 2

Пусть $u = - 2 x$ . Тогда $d u = - 2 d x$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = - 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 2.1.2

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Этап 2.1.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = - 2 x$ .

$u_{lower} = - 2 \cdot 0$

Этап 2.3

Умножим $- 2$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 2.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = - 2 x$ .

$u_{upper} = - 2 t$

Этап 2.5

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2 t$

Этап 2.6

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{- 2 t} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{- 2 t} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Этап 3.2

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{- 2 t} - \frac{e^{u}}{2} d u$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$lim_{t \to \infty} - \int_{0}^{- 2 t} \frac{e^{u}}{2} d u$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$lim_{t \to \infty} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{- 2 t} e^{u} d u)$

Этап 6

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2} e^{u}]_{0}^{- 2 t}$

Этап 7

Объединим $e^{u}]_{0}^{- 2 t}$ и $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{e^{u}]_{0}^{- 2 t}}{2}$

Этап 8

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем значение $e^{u}$ в $- 2 t$ и в $0$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{2}$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- 2 t} - 1 \cdot 1}{2}$

Этап 8.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- 2 t} - 1}{2}$

Этап 9

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$- lim_{t \to \infty} \frac{e^{- 2 t} - 1}{2}$

Этап 9.1.2

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$- \frac{1}{2} lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - 1$

Этап 9.1.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $t$ к $\infty$ .

$- \frac{1}{2} (lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Этап 9.2

Поскольку показатель степени $- 2 t$ стремится к $- \infty$ , величина $e^{- 2 t}$ стремится к $0$ .

$- \frac{1}{2} (0 - lim_{t \to \infty} 1)$

Этап 9.3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $t$ к $\infty$ .

$- \frac{1}{2} (0 - 1 \cdot 1)$

Этап 9.3.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{1}{2} (0 - 1)$

Этап 9.3.2.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot - 1$

Этап 9.3.2.3

Умножим $- \frac{1}{2} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2})$

Этап 9.3.2.3.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{2}$

Десятичная форма:

$0.5$