Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (2 x - 1)}{x - 1}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 1} \ln (2 x - 1)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{\ln (lim_{x \to 1} 2 x - 1)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Этап 1.1.2.1.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{\ln (lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 1)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Этап 1.1.2.1.3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\ln (2 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Этап 1.1.2.1.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{\ln (2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{\ln (2 \cdot 1 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{\ln (2 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\ln (2 - 1)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Этап 1.1.2.3.2

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Этап 1.1.2.3.3

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

Этап 1.1.3.1.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (2 x - 1)}{x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 2 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 x - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.3

По правилу суммы производная $2 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 x - 1} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 x - 1} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 x - 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.6

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 x - 1} (2 + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.7

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 x - 1} (2 + 0)}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.8

Добавим $2$ и $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 x - 1} \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.9

Объединим $\frac{1}{2 x - 1}$ и $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{2 x - 1}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.10

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{2 x - 1}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 1.3.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{2 x - 1}}{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 1.3.12

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{2 x - 1}}{1 + 0}$

Этап 1.3.13

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{2 x - 1}}{1}$

Этап 1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 1} \frac{2}{2 x - 1} \cdot 1$

Этап 1.5

Умножим $\frac{2}{2 x - 1}$ на $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2}{2 x - 1}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{1}{2 x - 1}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$2 \frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} 2 x - 1}$

Этап 2.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$2 \frac{1}{lim_{x \to 1} 2 x - 1}$

Этап 2.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$2 \frac{1}{lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 1}$

Этап 2.5

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 \frac{1}{2 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

Этап 2.6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$2 \frac{1}{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Этап 3

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$2 \frac{1}{2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $2$ на $1$ .

$2 \frac{1}{2 - 1 \cdot 1}$

Этап 4.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 \frac{1}{2 - 1}$

Этап 4.1.3

Вычтем $1$ из $2$ .

$2 (\frac{1}{1})$

Этап 4.2

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{1}{1})$

Этап 4.2.2

Перепишем это выражение.

$2 \cdot 1$

Этап 4.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2$