Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{3 x} + \frac{2 x}{\tan (4 x)}$

Этап 1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{3 x} + lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\tan (4 x)}$

Этап 1.2

Вынесем член $\frac{1}{3}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} + lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\tan (4 x)}$

Этап 2

Так как $\cos (x) \leq \frac{\sin (x)}{x} \leq 1$ и $lim_{x \to 0} \cos (x) = lim_{x \to 0} 1 = 1$ , применим теорему о двух милиционерах.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\tan (4 x)}$

Этап 3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan (4 x)}$

Этап 4

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \tan (4 x)}$

Этап 4.1.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \frac{0}{lim_{x \to 0} \tan (4 x)}$

Этап 4.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1.1

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \frac{0}{\tan (lim_{x \to 0} 4 x)}$

Этап 4.1.3.1.2

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \frac{0}{\tan (4 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 4.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \frac{0}{\tan (4 \cdot 0)}$

Этап 4.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.3.1

Умножим $4$ на $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \frac{0}{\tan (0)}$

Этап 4.1.3.3.2

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{0}{0})$

Этап 4.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{0}{0})$

Этап 4.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{0}{0})$

Этап 4.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{0}{0})$

Этап 4.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan (4 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\tan (4 x)]}$

Этап 4.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\tan (4 x)]}$

Этап 4.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\tan (4 x)]}$

Этап 4.3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \tan (x)$ и $g (x) = 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [4 x]}$

Этап 4.3.3.2

Производная $\tan (u)$ по $u$ равна $\sec^{2} (u)$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [4 x]}$

Этап 4.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]}$

Этап 4.3.4

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (4 x) \cdot 4 \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 4.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (4 x) \cdot 4 \cdot 1}$

Этап 4.3.6

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (4 x) \cdot 4}$

Этап 4.3.7

Перенесем $4$ влево от $\sec^{2} (4 x)$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{4 \sec^{2} (4 x)}$

Этап 5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем член $\frac{1}{4}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{1}{4}) lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (4 x)}$

Этап 5.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{1}{4}) \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (4 x)}$

Этап 5.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (4 x)}$

Этап 5.4

Вынесем степень $2$ в выражении $\sec^{2} (4 x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{{(lim_{x \to 0} \sec (4 x))}^{2}}$

Этап 5.5

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку секанс — непрерывная функция.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{\sec^{2} (lim_{x \to 0} 4 x)}$

Этап 5.6

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{\sec^{2} (4 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 6

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{\sec^{2} (4 \cdot 0)}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$\frac{1}{3} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{\sec^{2} (4 \cdot 0)}$

Этап 7.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{1}{3} + 2 \frac{1}{2 (2)} \frac{1}{\sec^{2} (4 \cdot 0)}$

Этап 7.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3} + 2 \frac{1}{2 \cdot 2} \frac{1}{\sec^{2} (4 \cdot 0)}$

Этап 7.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sec^{2} (4 \cdot 0)}$

Этап 7.1.3

Объединим.

$\frac{1}{3} + \frac{1 \cdot 1}{2 \sec^{2} (4 \cdot 0)}$

Этап 7.1.4

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2 \sec^{2} (4 \cdot 0)}$

Этап 7.1.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.5.1

Умножим $4$ на $0$ .

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2 \sec^{2} (0)}$

Этап 7.1.5.2

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}$

Этап 7.1.5.3

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.6

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2}$

Этап 7.2

Чтобы записать $\frac{1}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 7.3

Чтобы записать $\frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 7.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 7.4.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{2}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 7.4.3

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{6} + \frac{3}{2 \cdot 3}$

Этап 7.4.4

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{2}{6} + \frac{3}{6}$

Этап 7.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 + 3}{6}$

Этап 7.6

Добавим $2$ и $3$ .

$\frac{5}{6}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{5}{6}$

Десятичная форма:

$0.8\overline{3}$