Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - 1} \sqrt{u^{2} x^{2} + 2 x u + 1}$

Этап 1

Внесем предел под знак радикала.

$\sqrt{lim_{x \to - 1} u^{2} x^{2} + 2 x u + 1}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 1$ .

$\sqrt{lim_{x \to - 1} u^{2} x^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x u + lim_{x \to - 1} 1}$

Этап 3

Вынесем член $u^{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\sqrt{u^{2} lim_{x \to - 1} x^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x u + lim_{x \to - 1} 1}$

Этап 4

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\sqrt{u^{2} {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x u + lim_{x \to - 1} 1}$

Этап 5

Вынесем член $2 u$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\sqrt{u^{2} {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 2 u lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1}$

Этап 6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 1$ .

$\sqrt{u^{2} {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 2 u lim_{x \to - 1} x + 1}$

Этап 7

Найдем значения пределов, подставив значение $- 1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$\sqrt{u^{2} {(- 1)}^{2} + 2 u lim_{x \to - 1} x + 1}$

Этап 7.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$\sqrt{u^{2} {(- 1)}^{2} + 2 u \cdot - 1 + 1}$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем $u^{2} {(- 1)}^{2}$ в виде ${(u \cdot - 1)}^{2}$ .

$\sqrt{{(u \cdot - 1)}^{2} + 2 (u \cdot - 1) + 1}$

Этап 8.2

Пусть $u = u \cdot - 1$ . Подставим $u$ вместо $u \cdot - 1$ для всех.

$\sqrt{u^{2} + 2 u + 1}$

Этап 8.3

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\sqrt{u^{2} + 2 u + 1^{2}}$

Этап 8.3.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Этап 8.3.3

Перепишем многочлен.

$\sqrt{u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}}$

Этап 8.3.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = u$ и $b = 1$ .

$\sqrt{{(u + 1)}^{2}}$

Этап 8.4

Заменим все вхождения $u$ на $u \cdot - 1$ .

$\sqrt{{(u \cdot - 1 + 1)}^{2}}$

Этап 8.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Перенесем $- 1$ влево от $u$ .

$\sqrt{{(- 1 \cdot u + 1)}^{2}}$

Этап 8.5.2

Перепишем $- 1 u$ в виде $- u$ .

$\sqrt{{(- u + 1)}^{2}}$

Этап 8.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$- (- u + 1)$

Этап 8.7

Применим свойство дистрибутивности.

$- - u - 1 \cdot 1$

Этап 8.8

Умножим $- - u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.8.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 u - 1 \cdot 1$

Этап 8.8.2

Умножим $u$ на $1$ .

$u - 1 \cdot 1$

Этап 8.9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$u - 1$