Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 1} \sqrt{\frac{8 x + 1}{x + 3}}$

Этап 1

Внесем предел под знак радикала.

$\sqrt{lim_{x \to 1} \frac{8 x + 1}{x + 3}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 1} 8 x + 1}{lim_{x \to 1} x + 3}}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 1} 8 x + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x + 3}}$

Этап 4

Вынесем член $8$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\sqrt{\frac{8 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x + 3}}$

Этап 5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\sqrt{\frac{8 lim_{x \to 1} x + 1}{lim_{x \to 1} x + 3}}$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\sqrt{\frac{8 lim_{x \to 1} x + 1}{lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 3}}$

Этап 7

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\sqrt{\frac{8 lim_{x \to 1} x + 1}{lim_{x \to 1} x + 3}}$

Этап 8

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\sqrt{\frac{8 \cdot 1 + 1}{lim_{x \to 1} x + 3}}$

Этап 8.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\sqrt{\frac{8 \cdot 1 + 1}{1 + 3}}$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $8$ на $1$ .

$\sqrt{\frac{8 + 1}{1 + 3}}$

Этап 9.2

Добавим $8$ и $1$ .

$\sqrt{\frac{9}{1 + 3}}$

Этап 9.3

Добавим $1$ и $3$ .

$\sqrt{\frac{9}{4}}$

Этап 9.4

Перепишем $\sqrt{\frac{9}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}}$

Этап 9.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2}}}{\sqrt{4}}$

Этап 9.5.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{3}{\sqrt{4}}$

Этап 9.6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{3}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 9.6.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{3}{2}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{3}{2}$

Десятичная форма:

$1.5$