Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 1} \ln (\frac{x}{e^{2 x}})$

Этап 1

Внесем предел под знак логарифма.

$\ln (lim_{x \to 1} \frac{x}{e^{2 x}})$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\ln (\frac{lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} e^{2 x}})$

Этап 3

Внесем предел под знак экспоненты.

$\ln (\frac{lim_{x \to 1} x}{e^{lim_{x \to 1} 2 x}})$

Этап 4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\ln (\frac{lim_{x \to 1} x}{e^{2 lim_{x \to 1} x}})$

Этап 5

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\ln (\frac{1}{e^{2 lim_{x \to 1} x}})$

Этап 5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\ln (\frac{1}{e^{2 \cdot 1}})$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перенесем $e^{2 \cdot 1}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\ln (e^{- 2})$

Этап 6.2

Развернем $\ln (e^{- 2})$ , вынося $- 2$ из логарифма.

$- 2 \ln (e)$

Этап 6.3

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$- 2 \cdot 1$

Этап 6.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2$