Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 1} \frac{1}{e^{x - 1} - 1} - \frac{1}{x - 1}$

Этап 1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы записать $\frac{1}{e^{x - 1} - 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{e^{x - 1} - 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{1}{x - 1}$

Этап 1.2

Чтобы записать $- \frac{1}{x - 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{e^{x - 1} - 1}{e^{x - 1} - 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{e^{x - 1} - 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{e^{x - 1} - 1}{e^{x - 1} - 1}$

Этап 1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(e^{x - 1} - 1) (x - 1)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $\frac{1}{e^{x - 1} - 1}$ на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{(e^{x - 1} - 1) (x - 1)} - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{e^{x - 1} - 1}{e^{x - 1} - 1}$

Этап 1.3.2

Умножим $\frac{1}{x - 1}$ на $\frac{e^{x - 1} - 1}{e^{x - 1} - 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{(e^{x - 1} - 1) (x - 1)} - \frac{e^{x - 1} - 1}{(x - 1) (e^{x - 1} - 1)}$

Этап 1.3.3

Изменим порядок множителей в $(x - 1) (e^{x - 1} - 1)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{(e^{x - 1} - 1) (x - 1)} - \frac{e^{x - 1} - 1}{(e^{x - 1} - 1) (x - 1)}$

Этап 1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 1} \frac{x - 1 - (e^{x - 1} - 1)}{(e^{x - 1} - 1) (x - 1)}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 1} x - 1 - (e^{x - 1} - 1)}{lim_{x \to 1} (e^{x - 1} - 1) (x - 1)}$

Этап 2.1.2

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Найдем предел $x - 1 - (e^{x - 1} - 1)$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1 - 1 - (e^{1 - 1} - 1)}{lim_{x \to 1} (e^{x - 1} - 1) (x - 1)}$

Этап 2.1.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{1 - 1 - (e^{0} - 1)}{lim_{x \to 1} (e^{x - 1} - 1) (x - 1)}$

Этап 2.1.2.2.1.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1 - 1 - (1 - 1)}{lim_{x \to 1} (e^{x - 1} - 1) (x - 1)}$

Этап 2.1.2.2.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{1 - 1 - 0}{lim_{x \to 1} (e^{x - 1} - 1) (x - 1)}$

Этап 2.1.2.2.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{1 - 1 + 0}{lim_{x \to 1} (e^{x - 1} - 1) (x - 1)}$

Этап 2.1.2.3

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 1} (e^{x - 1} - 1) (x - 1)}$

Этап 2.1.2.4

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} (e^{x - 1} - 1) (x - 1)}$

Этап 2.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} e^{x - 1} - 1 \cdot lim_{x \to 1} x - 1}$

Этап 2.1.3.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 1} e^{x - 1} - lim_{x \to 1} 1) \cdot lim_{x \to 1} x - 1}$

Этап 2.1.3.3

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{0}{(e^{lim_{x \to 1} x - 1} - lim_{x \to 1} 1) \cdot lim_{x \to 1} x - 1}$

Этап 2.1.3.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{0}{(e^{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1} - lim_{x \to 1} 1) \cdot lim_{x \to 1} x - 1}$

Этап 2.1.3.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{0}{(e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1} - lim_{x \to 1} 1) \cdot lim_{x \to 1} x - 1}$

Этап 2.1.3.6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{0}{(e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1} - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 1} x - 1}$

Этап 2.1.3.7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{0}{(e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1} - 1 \cdot 1) \cdot (lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1)}$

Этап 2.1.3.8

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{0}{(e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1} - 1 \cdot 1) \cdot (lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1)}$

Этап 2.1.3.9

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.9.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{0}{(e^{1 - 1 \cdot 1} - 1 \cdot 1) \cdot (lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1)}$

Этап 2.1.3.9.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{0}{(e^{1 - 1 \cdot 1} - 1 \cdot 1) \cdot (1 - 1 \cdot 1)}$

Этап 2.1.3.10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.10.1.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{(e^{1 - 1} - 1 \cdot 1) \cdot (1 - 1 \cdot 1)}$

Этап 2.1.3.10.1.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{(e^{0} - 1 \cdot 1) \cdot (1 - 1 \cdot 1)}$

Этап 2.1.3.10.1.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{0}{(1 - 1 \cdot 1) \cdot (1 - 1 \cdot 1)}$

Этап 2.1.3.10.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{(1 - 1) \cdot (1 - 1 \cdot 1)}$

Этап 2.1.3.10.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot (1 - 1 \cdot 1)}$

Этап 2.1.3.10.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot (1 - 1)}$

Этап 2.1.3.10.4

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Этап 2.1.3.10.5

Умножим $0$ на $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.10.6

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.11

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 1} \frac{x - 1 - (e^{x - 1} - 1)}{(e^{x - 1} - 1) (x - 1)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x - 1 - (e^{x - 1} - 1)]}{\frac{d}{d x} [(e^{x - 1} - 1) (x - 1)]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x - 1 - (e^{x - 1} - 1)]}{\frac{d}{d x} [(e^{x - 1} - 1) (x - 1)]}$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $x - 1 - (e^{x - 1} - 1)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- (e^{x - 1} - 1)]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- (e^{x - 1} - 1)]}{\frac{d}{d x} [(e^{x - 1} - 1) (x - 1)]}$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- (e^{x - 1} - 1)]}{\frac{d}{d x} [(e^{x - 1} - 1) (x - 1)]}$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + 0 + \frac{d}{d x} [- (e^{x - 1} - 1)]}{\frac{d}{d x} [(e^{x - 1} - 1) (x - 1)]}$

Этап 2.3.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- (e^{x - 1} - 1)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- (e^{x - 1} - 1)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [e^{x - 1} - 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + 0 - \frac{d}{d x} [e^{x - 1} - 1]}{\frac{d}{d x} [(e^{x - 1} - 1) (x - 1)]}$

Этап 2.3.5.2

По правилу суммы производная $e^{x - 1} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x - 1}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + 0 - (\frac{d}{d x} [e^{x - 1}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [(e^{x - 1} - 1) (x - 1)]}$

Этап 2.3.5.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + 0 - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x - 1] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [(e^{x - 1} - 1) (x - 1)]}$

Этап 2.3.5.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + 0 - (e^{u} \frac{d}{d x} [x - 1] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [(e^{x - 1} - 1) (x - 1)]}$

Этап 2.3.5.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + 0 - (e^{x - 1} \frac{d}{d x} [x - 1] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [(e^{x - 1} - 1) (x - 1)]}$

Этап 2.3.5.4

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + 0 - (e^{x - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [(e^{x - 1} - 1) (x - 1)]}$

Этап 2.3.5.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + 0 - (e^{x - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [(e^{x - 1} - 1) (x - 1)]}$

Этап 2.3.5.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + 0 - (e^{x - 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [(e^{x - 1} - 1) (x - 1)]}$

Этап 2.3.5.7

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + 0 - (e^{x - 1} (1 + 0) + 0)}{\frac{d}{d x} [(e^{x - 1} - 1) (x - 1)]}$

Этап 2.3.5.8

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + 0 - (e^{x - 1} \cdot 1 + 0)}{\frac{d}{d x} [(e^{x - 1} - 1) (x - 1)]}$

Этап 2.3.5.9

Умножим $e^{x - 1}$ на $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + 0 - (e^{x - 1} + 0)}{\frac{d}{d x} [(e^{x - 1} - 1) (x - 1)]}$

Этап 2.3.5.10

Добавим $e^{x - 1}$ и $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + 0 - e^{x - 1}}{\frac{d}{d x} [(e^{x - 1} - 1) (x - 1)]}$

Этап 2.3.6

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{\frac{d}{d x} [(e^{x - 1} - 1) (x - 1)]}$

Этап 2.3.7

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = e^{x - 1} - 1$ и $g (x) = x - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{(e^{x - 1} - 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x - 1} - 1]}$

Этап 2.3.8

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{(e^{x - 1} - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x - 1} - 1]}$

Этап 2.3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{(e^{x - 1} - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x - 1} - 1]}$

Этап 2.3.10

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{(e^{x - 1} - 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x - 1} - 1]}$

Этап 2.3.11

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{(e^{x - 1} - 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x - 1} - 1]}$

Этап 2.3.12

Умножим $e^{x - 1} - 1$ на $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{e^{x - 1} - 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x - 1} - 1]}$

Этап 2.3.13

По правилу суммы производная $e^{x - 1} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x - 1}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{e^{x - 1} - 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [e^{x - 1}] + \frac{d}{d x} [- 1])}$

Этап 2.3.14

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.14.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{e^{x - 1} - 1 + (x - 1) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x - 1] + \frac{d}{d x} [- 1])}$

Этап 2.3.14.2

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{e^{x - 1} - 1 + (x - 1) (e^{u} \frac{d}{d x} [x - 1] + \frac{d}{d x} [- 1])}$

Этап 2.3.14.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{e^{x - 1} - 1 + (x - 1) (e^{x - 1} \frac{d}{d x} [x - 1] + \frac{d}{d x} [- 1])}$

Этап 2.3.15

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{e^{x - 1} - 1 + (x - 1) (e^{x - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [- 1])}$

Этап 2.3.16

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{e^{x - 1} - 1 + (x - 1) (e^{x - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [- 1])}$

Этап 2.3.17

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{e^{x - 1} - 1 + (x - 1) (e^{x - 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1])}$

Этап 2.3.18

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{e^{x - 1} - 1 + (x - 1) (e^{x - 1} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}$

Этап 2.3.19

Умножим $e^{x - 1}$ на $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{e^{x - 1} - 1 + (x - 1) (e^{x - 1} + \frac{d}{d x} [- 1])}$

Этап 2.3.20

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{e^{x - 1} - 1 + (x - 1) (e^{x - 1} + 0)}$

Этап 2.3.21

Добавим $e^{x - 1}$ и $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{e^{x - 1} - 1 + (x - 1) e^{x - 1}}$

Этап 2.3.22

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.22.1

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{e^{x - 1} (x - 1) + e^{x - 1} - 1}$

Этап 2.3.22.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.22.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{e^{x - 1} x + e^{x - 1} \cdot - 1 + e^{x - 1} - 1}$

Этап 2.3.22.2.2

Перенесем $- 1$ влево от $e^{x - 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{e^{x - 1} x - 1 \cdot e^{x - 1} + e^{x - 1} - 1}$

Этап 2.3.22.2.3

Перепишем $- 1 e^{x - 1}$ в виде $- e^{x - 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{e^{x - 1} x - e^{x - 1} + e^{x - 1} - 1}$

Этап 2.3.22.3

Объединим противоположные члены в $e^{x - 1} x - e^{x - 1} + e^{x - 1} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.22.3.1

Добавим $- e^{x - 1}$ и $e^{x - 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{e^{x - 1} x + 0 - 1}$

Этап 2.3.22.3.2

Добавим $e^{x - 1} x$ и $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{e^{x - 1} x - 1}$

Этап 2.3.22.4

Изменим порядок множителей в $e^{x - 1} x - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{x e^{x - 1} - 1}$

Этап 3

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 1} 1 - e^{x - 1}}{lim_{x \to 1} x e^{x - 1} - 1}$

Этап 3.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} e^{x - 1}}{lim_{x \to 1} x e^{x - 1} - 1}$

Этап 3.1.2.1.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 1} e^{x - 1}}{lim_{x \to 1} x e^{x - 1} - 1}$

Этап 3.1.2.1.3

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{1 - e^{lim_{x \to 1} x - 1}}{lim_{x \to 1} x e^{x - 1} - 1}$

Этап 3.1.2.1.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{1 - e^{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}}{lim_{x \to 1} x e^{x - 1} - 1}$

Этап 3.1.2.1.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{1 - e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 1} x e^{x - 1} - 1}$

Этап 3.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1 - e^{1 - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 1} x e^{x - 1} - 1}$

Этап 3.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - e^{1 - 1}}{lim_{x \to 1} x e^{x - 1} - 1}$

Этап 3.1.2.3.1.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{1 - e^{0}}{lim_{x \to 1} x e^{x - 1} - 1}$

Этап 3.1.2.3.1.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x e^{x - 1} - 1}$

Этап 3.1.2.3.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} x e^{x - 1} - 1}$

Этап 3.1.2.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x e^{x - 1} - 1}$

Этап 3.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x e^{x - 1} - lim_{x \to 1} 1}$

Этап 3.1.3.2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} e^{x - 1} - lim_{x \to 1} 1}$

Этап 3.1.3.3

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot e^{lim_{x \to 1} x - 1} - lim_{x \to 1} 1}$

Этап 3.1.3.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot e^{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1} - lim_{x \to 1} 1}$

Этап 3.1.3.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1} - lim_{x \to 1} 1}$

Этап 3.1.3.6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1} - 1 \cdot 1}$

Этап 3.1.3.7

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{0}{1 \cdot e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1} - 1 \cdot 1}$

Этап 3.1.3.7.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{0}{1 \cdot e^{1 - 1 \cdot 1} - 1 \cdot 1}$

Этап 3.1.3.8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.8.1.1

Умножим $e^{1 - 1 \cdot 1}$ на $1$ .

$\frac{0}{e^{1 - 1 \cdot 1} - 1 \cdot 1}$

Этап 3.1.3.8.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{e^{1 - 1} - 1 \cdot 1}$

Этап 3.1.3.8.1.3

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{e^{0} - 1 \cdot 1}$

Этап 3.1.3.8.1.4

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Этап 3.1.3.8.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Этап 3.1.3.8.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 3.1.3.8.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 3.1.3.9

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 3.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 3.2

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{x e^{x - 1} - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - e^{x - 1}]}{\frac{d}{d x} [x e^{x - 1} - 1]}$

Этап 3.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - e^{x - 1}]}{\frac{d}{d x} [x e^{x - 1} - 1]}$

Этап 3.3.2

По правилу суммы производная $1 - e^{x - 1}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x - 1}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x - 1}]}{\frac{d}{d x} [x e^{x - 1} - 1]}$

Этап 3.3.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- e^{x - 1}]}{\frac{d}{d x} [x e^{x - 1} - 1]}$

Этап 3.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- e^{x - 1}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- e^{x - 1}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [e^{x - 1}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - \frac{d}{d x} [e^{x - 1}]}{\frac{d}{d x} [x e^{x - 1} - 1]}$

Этап 3.3.4.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x - 1])}{\frac{d}{d x} [x e^{x - 1} - 1]}$

Этап 3.3.4.2.2

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (e^{u} \frac{d}{d x} [x - 1])}{\frac{d}{d x} [x e^{x - 1} - 1]}$

Этап 3.3.4.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (e^{x - 1} \frac{d}{d x} [x - 1])}{\frac{d}{d x} [x e^{x - 1} - 1]}$

Этап 3.3.4.3

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (e^{x - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))}{\frac{d}{d x} [x e^{x - 1} - 1]}$

Этап 3.3.4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (e^{x - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]))}{\frac{d}{d x} [x e^{x - 1} - 1]}$

Этап 3.3.4.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (e^{x - 1} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x e^{x - 1} - 1]}$

Этап 3.3.4.6

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (e^{x - 1} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x e^{x - 1} - 1]}$

Этап 3.3.4.7

Умножим $e^{x - 1}$ на $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - e^{x - 1}}{\frac{d}{d x} [x e^{x - 1} - 1]}$

Этап 3.3.5

Вычтем $e^{x - 1}$ из $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- e^{x - 1}}{\frac{d}{d x} [x e^{x - 1} - 1]}$

Этап 3.3.6

По правилу суммы производная $x e^{x - 1} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x e^{x - 1}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- e^{x - 1}}{\frac{d}{d x} [x e^{x - 1}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.3.7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x e^{x - 1}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.7.1

$lim_{x \to 1} \frac{- e^{x - 1}}{x \frac{d}{d x} [e^{x - 1}] + e^{x - 1} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.3.7.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.7.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- e^{x - 1}}{x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + e^{x - 1} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.3.7.2.2

$lim_{x \to 1} \frac{- e^{x - 1}}{x (e^{u} \frac{d}{d x} [x - 1]) + e^{x - 1} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.3.7.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- e^{x - 1}}{x (e^{x - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + e^{x - 1} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.3.7.3

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- e^{x - 1}}{x (e^{x - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])) + e^{x - 1} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.3.7.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- e^{x - 1}}{x (e^{x - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])) + e^{x - 1} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.3.7.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- e^{x - 1}}{x (e^{x - 1} (1 + 0)) + e^{x - 1} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.3.7.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- e^{x - 1}}{x (e^{x - 1} (1 + 0)) + e^{x - 1} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.3.7.7

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- e^{x - 1}}{x (e^{x - 1} \cdot 1) + e^{x - 1} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.3.7.8

Умножим $e^{x - 1}$ на $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- e^{x - 1}}{x e^{x - 1} + e^{x - 1} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.3.7.9

Умножим $e^{x - 1}$ на $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- e^{x - 1}}{x e^{x - 1} + e^{x - 1} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.3.8

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- e^{x - 1}}{x e^{x - 1} + e^{x - 1} + 0}$

Этап 3.3.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.9.1

Добавим $x e^{x - 1} + e^{x - 1}$ и $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- e^{x - 1}}{x e^{x - 1} + e^{x - 1}}$

Этап 3.3.9.2

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to 1} \frac{- e^{x - 1}}{e^{x - 1} x + e^{x - 1}}$

Этап 3.3.9.3

Изменим порядок множителей в $e^{x - 1} x + e^{x - 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- e^{x - 1}}{x e^{x - 1} + e^{x - 1}}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} - e^{x - 1}}{lim_{x \to 1} x e^{x - 1} + e^{x - 1}}$

Этап 4.2

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- lim_{x \to 1} e^{x - 1}}{lim_{x \to 1} x e^{x - 1} + e^{x - 1}}$

Этап 4.3

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{- e^{lim_{x \to 1} x - 1}}{lim_{x \to 1} x e^{x - 1} + e^{x - 1}}$

Этап 4.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{- e^{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}}{lim_{x \to 1} x e^{x - 1} + e^{x - 1}}$

Этап 4.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{- e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 1} x e^{x - 1} + e^{x - 1}}$

Этап 4.6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{- e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 1} x e^{x - 1} + lim_{x \to 1} e^{x - 1}}$

Этап 4.7

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{- e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} e^{x - 1} + lim_{x \to 1} e^{x - 1}}$

Этап 4.8

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{- e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 1} x \cdot e^{lim_{x \to 1} x - 1} + lim_{x \to 1} e^{x - 1}}$

Этап 4.9

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{- e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 1} x \cdot e^{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1} + lim_{x \to 1} e^{x - 1}}$

Этап 4.10

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{- e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 1} x \cdot e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1} + lim_{x \to 1} e^{x - 1}}$

Этап 4.11

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{- e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 1} x \cdot e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1} + e^{lim_{x \to 1} x - 1}}$

Этап 4.12

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{- e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 1} x \cdot e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1} + e^{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}}$

Этап 4.13

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{- e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 1} x \cdot e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1} + e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}}$

Этап 5

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{- e^{1 - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 1} x \cdot e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1} + e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}}$

Этап 5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{- e^{1 - 1 \cdot 1}}{1 \cdot e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1} + e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}}$

Этап 5.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{- e^{1 - 1 \cdot 1}}{1 \cdot e^{1 - 1 \cdot 1} + e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}}$

Этап 5.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{- e^{1 - 1 \cdot 1}}{1 \cdot e^{1 - 1 \cdot 1} + e^{1 - 1 \cdot 1}}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- e^{1 - 1}}{1 \cdot e^{1 - 1 \cdot 1} + e^{1 - 1 \cdot 1}}$

Этап 6.1.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{- e^{0}}{1 \cdot e^{1 - 1 \cdot 1} + e^{1 - 1 \cdot 1}}$

Этап 6.1.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{1 \cdot e^{1 - 1 \cdot 1} + e^{1 - 1 \cdot 1}}$

Этап 6.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $e^{1 - 1 \cdot 1}$ на $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{e^{1 - 1 \cdot 1} + e^{1 - 1 \cdot 1}}$

Этап 6.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{e^{1 - 1} + e^{1 - 1 \cdot 1}}$

Этап 6.2.3

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{e^{0} + e^{1 - 1 \cdot 1}}$

Этап 6.2.4

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{1 + e^{1 - 1 \cdot 1}}$

Этап 6.2.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{1 + e^{1 - 1}}$

Этап 6.2.6

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{1 + e^{0}}$

Этап 6.2.7

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{1 + 1}$

Этап 6.2.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{2}$

Этап 6.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- 1}{2}$

Этап 6.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{2}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{1}{2}$

Десятичная форма:

$- 0.5$