Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 1} x \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) - 1$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$lim_{x \to 1} x \sec^{2} (x) - lim_{x \to 1} \tan^{2} (x) - lim_{x \to 1} 1$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} \sec^{2} (x) - lim_{x \to 1} \tan^{2} (x) - lim_{x \to 1} 1$

Этап 3

Вынесем степень $2$ в выражении $\sec^{2} (x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$lim_{x \to 1} x \cdot {(lim_{x \to 1} \sec (x))}^{2} - lim_{x \to 1} \tan^{2} (x) - lim_{x \to 1} 1$

Этап 4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку секанс — непрерывная функция.

$lim_{x \to 1} x \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 1} x) - lim_{x \to 1} \tan^{2} (x) - lim_{x \to 1} 1$

Этап 5

Вынесем степень $2$ в выражении $\tan^{2} (x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$lim_{x \to 1} x \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 1} x) - {(lim_{x \to 1} \tan (x))}^{2} - lim_{x \to 1} 1$

Этап 6

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$lim_{x \to 1} x \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 1} x) - \tan^{2} (lim_{x \to 1} x) - lim_{x \to 1} 1$

Этап 7

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$lim_{x \to 1} x \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 1} x) - \tan^{2} (lim_{x \to 1} x) - 1 \cdot 1$

Этап 8

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$1 \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 1} x) - \tan^{2} (lim_{x \to 1} x) - 1 \cdot 1$

Этап 8.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$1 \cdot \sec^{2} (1) - \tan^{2} (lim_{x \to 1} x) - 1 \cdot 1$

Этап 8.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$1 \cdot \sec^{2} (1) - \tan^{2} (1) - 1 \cdot 1$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вынесем множитель $1$ из $1 \cdot \sec^{2} (1)$ .

$1 (\sec^{2} (1)) - \tan^{2} (1) - 1 \cdot 1$

Этап 9.2

Вынесем множитель $1$ из $- \tan^{2} (1)$ .

$1 (\sec^{2} (1)) + 1 (- \tan^{2} (1)) - 1 \cdot 1$

Этап 9.3

Вынесем множитель $1$ из $1 (\sec^{2} (1)) + 1 (- \tan^{2} (1))$ .

$1 (\sec^{2} (1) - \tan^{2} (1)) - 1 \cdot 1$

Этап 9.4

Применим формулу Пифагора.

$1 \cdot 1 - 1 \cdot 1$

Этап 9.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Умножим $1$ на $1$ .

$1 - 1 \cdot 1$

Этап 9.5.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$1 - 1$

Этап 9.6

Вычтем $1$ из $1$ .

$0$