Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 1} \frac{x^{3 a} - 3 a x + 3 a - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{3 a} - 3 a x + 3 a - 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x^{3 a} - lim_{x \to 1} 3 a x + lim_{x \to 1} 3 a - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.2

Вынесем степень $3 a$ в выражении $x^{3 a}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3 a} - lim_{x \to 1} 3 a x + lim_{x \to 1} 3 a - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.3

Вынесем член $3 a$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3 a} - 1 \cdot 3 a lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 3 a - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4

Найдем предел $3 a$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3 a} - 1 \cdot 3 a lim_{x \to 1} x + 3 a - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3 a} - 1 \cdot 3 a lim_{x \to 1} x + 3 a - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.6

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1^{3 a} - 1 \cdot 3 a lim_{x \to 1} x + 3 a - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1^{3 a} - 1 \cdot 3 a \cdot 1 + 3 a - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.7.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1 - 1 \cdot 3 a \cdot 1 + 3 a - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.7.1.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{1 - 3 a \cdot 1 + 3 a - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.7.1.3

Умножим $- 3$ на $1$ .

$\frac{1 - 3 a + 3 a - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.7.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 3 a + 3 a - 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.7.2

Объединим противоположные члены в $1 - 3 a + 3 a - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.7.2.1

Добавим $- 3 a$ и $3 a$ .

$\frac{1 + 0 - 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.7.2.2

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.7.2.3

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Вынесем степень $2$ в выражении ${(x - 1)}^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3.1.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3.1.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{0}{{(1 - 1 \cdot 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{{(1 - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Этап 1.1.3.3.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{3 a} - 3 a x + 3 a - 1}{{(x - 1)}^{2}} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3 a} - 3 a x + 3 a - 1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3 a} - 3 a x + 3 a - 1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $x^{3 a} - 3 a x + 3 a - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3 a}] + \frac{d}{d x} [- 3 a x] + \frac{d}{d x} [3 a] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3 a}] + \frac{d}{d x} [- 3 a x] + \frac{d}{d x} [3 a] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3 a$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 a x^{3 a - 1} + \frac{d}{d x} [- 3 a x] + \frac{d}{d x} [3 a] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 a x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Поскольку $- 3 a$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 a x$ по $x$ равна $- 3 a \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 a x^{3 a - 1} - 3 a \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 a] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Этап 1.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 a x^{3 a - 1} - 3 a \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 a] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Этап 1.3.4.3

Умножим $- 3$ на $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 a x^{3 a - 1} - 3 a + \frac{d}{d x} [3 a] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Этап 1.3.5

Поскольку $3 a$ является константой относительно $x$ , производная $3 a$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 a x^{3 a - 1} - 3 a + 0 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Этап 1.3.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 a x^{3 a - 1} - 3 a + 0 + 0}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Этап 1.3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1.1

Добавим $3 a x^{3 a - 1} - 3 a$ и $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 a x^{3 a - 1} - 3 a + 0}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Этап 1.3.7.1.2

Добавим $3 a x^{3 a - 1} - 3 a$ и $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 a x^{3 a - 1} - 3 a}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Этап 1.3.7.2

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 a + 3 x^{3 a - 1} a}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Этап 1.3.7.3

Изменим порядок множителей в $- 3 a + 3 x^{3 a - 1} a$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 a + 3 a x^{3 a - 1}}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Этап 1.3.8

Перепишем ${(x - 1)}^{2}$ в виде $(x - 1) (x - 1)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 a + 3 a x^{3 a - 1}}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x - 1)]}$

Этап 1.3.9

Развернем $(x - 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 a + 3 a x^{3 a - 1}}{\frac{d}{d x} [x (x - 1) - 1 (x - 1)]}$

Этап 1.3.9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 a + 3 a x^{3 a - 1}}{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)]}$

Этап 1.3.9.3

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 a + 3 a x^{3 a - 1}}{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1]}$

Этап 1.3.10

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.10.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 a + 3 a x^{3 a - 1}}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1]}$

Этап 1.3.10.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 a + 3 a x^{3 a - 1}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1]}$

Этап 1.3.10.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 a + 3 a x^{3 a - 1}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1]}$

Этап 1.3.10.1.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 a + 3 a x^{3 a - 1}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1]}$

Этап 1.3.10.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 a + 3 a x^{3 a - 1}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - x + 1]}$

Этап 1.3.10.2

Вычтем $x$ из $- x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 a + 3 a x^{3 a - 1}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Этап 1.3.11

По правилу суммы производная $x^{2} - 2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 a + 3 a x^{3 a - 1}}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Этап 1.3.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 a + 3 a x^{3 a - 1}}{2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Этап 1.3.13

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 a + 3 a x^{3 a - 1}}{2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Этап 1.3.14

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 a + 3 a x^{3 a - 1}}{2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]}$

Этап 1.3.15

Умножим $- 2$ на $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 a + 3 a x^{3 a - 1}}{2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]}$

Этап 1.3.16

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 a + 3 a x^{3 a - 1}}{2 x - 2 + 0}$

Этап 1.3.17

Добавим $2 x - 2$ и $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 a + 3 a x^{3 a - 1}}{2 x - 2}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 1} - 3 a + 3 a x^{3 a - 1}}{lim_{x \to 1} 2 x - 2}$

Этап 2.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{- lim_{x \to 1} 3 a + lim_{x \to 1} 3 a x^{3 a - 1}}{lim_{x \to 1} 2 x - 2}$

Этап 2.1.2.1.2

Найдем предел $3 a$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{- 3 a + lim_{x \to 1} 3 a x^{3 a - 1}}{lim_{x \to 1} 2 x - 2}$

Этап 2.1.2.1.3

Вынесем член $3 a$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- 3 a + 3 a lim_{x \to 1} x^{3 a - 1}}{lim_{x \to 1} 2 x - 2}$

Этап 2.1.2.1.4

Вынесем степень $3 a - 1$ в выражении $x^{3 a - 1}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{- 3 a + 3 a {(lim_{x \to 1} x)}^{3 a - 1}}{lim_{x \to 1} 2 x - 2}$

Этап 2.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{- 3 a + 3 a \cdot 1^{3 a - 1}}{lim_{x \to 1} 2 x - 2}$

Этап 2.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{- 3 a + 3 a \cdot 1}{lim_{x \to 1} 2 x - 2}$

Этап 2.1.2.3.1.2

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{- 3 a + 3 a}{lim_{x \to 1} 2 x - 2}$

Этап 2.1.2.3.2

Добавим $- 3 a$ и $3 a$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 2 x - 2}$

Этап 2.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 2}$

Этап 2.1.3.1.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 2}$

Этап 2.1.3.1.3

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2}$

Этап 2.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{0}{2 \cdot 1 - 1 \cdot 2}$

Этап 2.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.3.1.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

Этап 2.1.3.3.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Этап 2.1.3.3.2

Вычтем $2$ из $2$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.2

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 a + 3 a x^{3 a - 1}}{2 x - 2} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [- 3 a + 3 a x^{3 a - 1}]}{\frac{d}{d x} [2 x - 2]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [- 3 a + 3 a x^{3 a - 1}]}{\frac{d}{d x} [2 x - 2]}$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $- 3 a + 3 a x^{3 a - 1}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 3 a] + \frac{d}{d x} [3 a x^{3 a - 1}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [- 3 a] + \frac{d}{d x} [3 a x^{3 a - 1}]}{\frac{d}{d x} [2 x - 2]}$

Этап 2.3.3

Поскольку $- 3 a$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 a$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [3 a x^{3 a - 1}]}{\frac{d}{d x} [2 x - 2]}$

Этап 2.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 a x^{3 a - 1}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Поскольку $3 a$ является константой относительно $x$ , производная $3 a x^{3 a - 1}$ по $x$ равна $3 a \frac{d}{d x} [x^{3 a - 1}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 + 3 a \frac{d}{d x} [x^{3 a - 1}]}{\frac{d}{d x} [2 x - 2]}$

Этап 2.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3 a - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 + 3 a ((3 a - 1) x^{3 a - 1 - 1})}{\frac{d}{d x} [2 x - 2]}$

Этап 2.3.4.3

Вычтем $1$ из $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 + 3 a ((3 a - 1) x^{3 a - 2})}{\frac{d}{d x} [2 x - 2]}$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Добавим $0$ и $3 a ((3 a - 1) x^{3 a - 2})$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 a ((3 a - 1) x^{3 a - 2})}{\frac{d}{d x} [2 x - 2]}$

Этап 2.3.5.2

Изменим порядок множителей в $3 a ((3 a - 1) x^{3 a - 2})$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{3 a - 2} a (3 a - 1)}{\frac{d}{d x} [2 x - 2]}$

Этап 2.3.6

По правилу суммы производная $2 x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{3 a - 2} a (3 a - 1)}{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Этап 2.3.7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{3 a - 2} a (3 a - 1)}{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Этап 2.3.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{3 a - 2} a (3 a - 1)}{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Этап 2.3.7.3

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{3 a - 2} a (3 a - 1)}{2 + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Этап 2.3.8

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{3 a - 2} a (3 a - 1)}{2 + 0}$

Этап 2.3.9

Добавим $2$ и $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{3 a - 2} a (3 a - 1)}{2}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем член $\frac{3 a (3 a - 1)}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 a (3 a - 1)}{2} lim_{x \to 1} x^{3 a - 2}$

Этап 3.2

Вынесем степень $3 a - 2$ в выражении $x^{3 a - 2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{3 a (3 a - 1)}{2} {(lim_{x \to 1} x)}^{3 a - 2}$

Этап 4

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{3 a (3 a - 1)}{2} \cdot 1^{3 a - 2}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{3 a (3 a - 1)}{2} \cdot 1$

Этап 5.2

Умножим $\frac{3 a (3 a - 1)}{2}$ на $1$ .

$\frac{3 a (3 a - 1)}{2}$