Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 1} \frac{1 - x + \ln (x)}{1 + \cos (3 π x)}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 1} 1 - x + \ln (x)}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (3 π x)}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (3 π x)}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (3 π x)}$

Этап 1.1.2.3

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{1 - lim_{x \to 1} x + \ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (3 π x)}$

Этап 1.1.2.4

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1 - 1 + \ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (3 π x)}$

Этап 1.1.2.4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1 - 1 + \ln (1)}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (3 π x)}$

Этап 1.1.2.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\frac{1 - 1 + 0}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (3 π x)}$

Этап 1.1.2.5.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (3 π x)}$

Этап 1.1.2.5.3

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (3 π x)}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 1 + lim_{x \to 1} \cos (3 π x)}$

Этап 1.1.3.1.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{0}{1 + lim_{x \to 1} \cos (3 π x)}$

Этап 1.1.3.1.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{0}{1 + \cos (lim_{x \to 1} 3 π x)}$

Этап 1.1.3.1.4

Вынесем член $3 π$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{1 + \cos (3 π lim_{x \to 1} x)}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{0}{1 + \cos (3 π \cdot 1)}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{0}{1 + \cos (3 π)}$

Этап 1.1.3.3.1.2

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\frac{0}{1 + \cos (π)}$

Этап 1.1.3.3.1.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$\frac{0}{1 - \cos (0)}$

Этап 1.1.3.3.1.4

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.3.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 1} \frac{1 - x + \ln (x)}{1 + \cos (3 π x)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - x + \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (3 π x)]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - x + \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (3 π x)]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $1 - x + \ln (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (3 π x)]}$

Этап 1.3.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (3 π x)]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (3 π x)]}$

Этап 1.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (3 π x)]}$

Этап 1.3.4.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 1 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (3 π x)]}$

Этап 1.3.5

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 1 + \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (3 π x)]}$

Этап 1.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Вычтем $1$ из $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 1 + \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (3 π x)]}$

Этап 1.3.6.2

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (3 π x)]}$

Этап 1.3.7

По правилу суммы производная $1 + \cos (3 π x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (3 π x)]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (3 π x)]}$

Этап 1.3.8

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 + \frac{d}{d x} [\cos (3 π x)]}$

Этап 1.3.9

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\cos (3 π x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.9.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = 3 π x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.9.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [3 π x]}$

Этап 1.3.9.1.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 - \sin (u) \frac{d}{d x} [3 π x]}$

Этап 1.3.9.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 - \sin (3 π x) \frac{d}{d x} [3 π x]}$

Этап 1.3.9.2

Поскольку $3 π$ является константой относительно $x$ , производная $3 π x$ по $x$ равна $3 π \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 - \sin (3 π x) (3 π \frac{d}{d x} [x])}$

Этап 1.3.9.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 - \sin (3 π x) (3 π \cdot 1)}$

Этап 1.3.9.4

Умножим $3$ на $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 - \sin (3 π x) (3 π)}$

Этап 1.3.9.5

Умножим $3$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 - 3 \sin (3 π x) π}$

Этап 1.3.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.10.1

Вычтем $3 \sin (3 π x) π$ из $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{- 3 \sin (3 π x) π}$

Этап 1.3.10.2

Изменим порядок множителей в $- 3 \sin (3 π x) π$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{- 3 π \sin (3 π x)}$

Этап 1.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1 \cdot \frac{x}{x}}{- 3 π \sin (3 π x)}$

Этап 1.4.2

Объединим $- 1$ и $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} + \frac{- x}{x}}{- 3 π \sin (3 π x)}$

Этап 1.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1 - x}{x}}{- 3 π \sin (3 π x)}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $\frac{1}{- 3 π}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{- 3 π} lim_{x \to 1} \frac{\frac{1 - x}{x}}{\sin (3 π x)}$

Этап 2.2

Упростим выражение под знаком предела.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{- 3 π} lim_{x \to 1} \frac{1 - x}{x} \cdot \frac{1}{\sin (3 π x)}$

Этап 2.2.2

Умножим $\frac{1 - x}{x}$ на $\frac{1}{\sin (3 π x)}$ .

$\frac{1}{- 3 π} lim_{x \to 1} \frac{1 - x}{x \sin (3 π x)}$

Этап 3

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 1 - x}{lim_{x \to 1} x \sin (3 π x)}$

Этап 3.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} x \sin (3 π x)}$

Этап 3.1.2.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{1 - lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} x \sin (3 π x)}$

Этап 3.1.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} x \sin (3 π x)}$

Этап 3.1.2.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 1} x \sin (3 π x)}$

Этап 3.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} \sin (3 π x)}$

Этап 3.1.3.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot \sin (lim_{x \to 1} 3 π x)}$

Этап 3.1.3.3

Вынесем член $3 π$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot \sin (3 π lim_{x \to 1} x)}$

Этап 3.1.3.4

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{0}{1 \cdot \sin (3 π lim_{x \to 1} x)}$

Этап 3.1.3.4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{0}{1 \cdot \sin (3 π \cdot 1)}$

Этап 3.1.3.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.5.1

Умножим $\sin (3 π \cdot 1)$ на $1$ .

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{0}{\sin (3 π \cdot 1)}$

Этап 3.1.3.5.2

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{0}{\sin (3 π)}$

Этап 3.1.3.5.3

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{0}{\sin (π)}$

Этап 3.1.3.5.4

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{0}{\sin (0)}$

Этап 3.1.3.5.5

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 3.1.3.5.6

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 3.1.3.6

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 3.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 3.2

$lim_{x \to 1} \frac{1 - x}{x \sin (3 π x)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - x]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 π x)]}$

Этап 3.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$\frac{1}{- 3 π} lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - x]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 π x)]}$

Этап 3.3.2

По правилу суммы производная $1 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{- 3 π} lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 π x)]}$

Этап 3.3.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{- 3 π} lim_{x \to 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 π x)]}$

Этап 3.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{- 3 π} lim_{x \to 1} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 π x)]}$

Этап 3.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{- 3 π} lim_{x \to 1} \frac{0 - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 π x)]}$

Этап 3.3.4.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{- 3 π} lim_{x \to 1} \frac{0 - 1}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 π x)]}$

Этап 3.3.5

Вычтем $1$ из $0$ .

$\frac{1}{- 3 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 π x)]}$

Этап 3.3.6

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \sin (3 π x)$ .

$\frac{1}{- 3 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \frac{d}{d x} [\sin (3 π x)] + \sin (3 π x) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.7

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.7.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 π x$ .

$\frac{1}{- 3 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 π x] + \sin (3 π x) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.7.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$\frac{1}{- 3 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \cos (u) \frac{d}{d x} [3 π x] + \sin (3 π x) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.7.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 π x$ .

$\frac{1}{- 3 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \cos (3 π x) \frac{d}{d x} [3 π x] + \sin (3 π x) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.8

Поскольку $3 π$ является константой относительно $x$ , производная $3 π x$ по $x$ равна $3 π \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{- 3 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \cos (3 π x) \cdot 3 π \frac{d}{d x} [x] + \sin (3 π x) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{- 3 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \cos (3 π x) \cdot 3 π \cdot 1 + \sin (3 π x) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.10

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{1}{- 3 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \cos (3 π x) \cdot 3 π + \sin (3 π x) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.11

Перенесем $3$ влево от $\cos (3 π x)$ .

$\frac{1}{- 3 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \cdot 3 \cdot \cos (3 π x) π + \sin (3 π x) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{- 3 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \cdot 3 \cos (3 π x) π + \sin (3 π x) \cdot 1}$

Этап 3.3.13

Умножим $\sin (3 π x)$ на $1$ .

$\frac{1}{- 3 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \cdot 3 \cos (3 π x) π + \sin (3 π x)}$

Этап 3.3.14

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{- 3 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{3 π x \cos (3 π x) + \sin (3 π x)}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{lim_{x \to 1} - 1}{lim_{x \to 1} 3 π x \cos (3 π x) + \sin (3 π x)}$

Этап 4.2

Найдем предел $- 1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{- 1}{lim_{x \to 1} 3 π x \cos (3 π x) + \sin (3 π x)}$

Этап 4.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{- 1}{lim_{x \to 1} 3 π x \cos (3 π x) + lim_{x \to 1} \sin (3 π x)}$

Этап 4.4

Вынесем член $3 π$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{- 1}{3 π lim_{x \to 1} x \cos (3 π x) + lim_{x \to 1} \sin (3 π x)}$

Этап 4.5

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{- 1}{3 π lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} \cos (3 π x) + lim_{x \to 1} \sin (3 π x)}$

Этап 4.6

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{- 1}{3 π lim_{x \to 1} x \cdot \cos (lim_{x \to 1} 3 π x) + lim_{x \to 1} \sin (3 π x)}$

Этап 4.7

Вынесем член $3 π$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{- 1}{3 π lim_{x \to 1} x \cdot \cos (3 π lim_{x \to 1} x) + lim_{x \to 1} \sin (3 π x)}$

Этап 4.8

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{- 1}{3 π lim_{x \to 1} x \cdot \cos (3 π lim_{x \to 1} x) + \sin (lim_{x \to 1} 3 π x)}$

Этап 4.9

Вынесем член $3 π$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{- 1}{3 π lim_{x \to 1} x \cdot \cos (3 π lim_{x \to 1} x) + \sin (3 π lim_{x \to 1} x)}$

Этап 5

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{- 1}{3 π \cdot 1 \cdot \cos (3 π lim_{x \to 1} x) + \sin (3 π lim_{x \to 1} x)}$

Этап 5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{- 1}{3 π \cdot 1 \cdot \cos (3 π \cdot 1) + \sin (3 π lim_{x \to 1} x)}$

Этап 5.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{- 1}{3 π \cdot 1 \cdot \cos (3 π \cdot 1) + \sin (3 π \cdot 1)}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{3 π} \cdot \frac{- 1}{3 π \cdot 1 \cdot \cos (3 π \cdot 1) + \sin (3 π \cdot 1)}$

Этап 6.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $3$ на $1$ .

$- \frac{1}{3 π} \cdot \frac{- 1}{3 π \cdot \cos (3 π \cdot 1) + \sin (3 π \cdot 1)}$

Этап 6.2.2

Умножим $3$ на $1$ .

$- \frac{1}{3 π} \cdot \frac{- 1}{3 π \cdot \cos (3 π) + \sin (3 π \cdot 1)}$

Этап 6.2.3

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$- \frac{1}{3 π} \cdot \frac{- 1}{3 π \cdot \cos (π) + \sin (3 π \cdot 1)}$

Этап 6.2.4

$- \frac{1}{3 π} \cdot \frac{- 1}{3 π \cdot (- \cos (0)) + \sin (3 π \cdot 1)}$

Этап 6.2.5

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- \frac{1}{3 π} \cdot \frac{- 1}{3 π \cdot (- 1 \cdot 1) + \sin (3 π \cdot 1)}$

Этап 6.2.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{1}{3 π} \cdot \frac{- 1}{3 π \cdot - 1 + \sin (3 π \cdot 1)}$

Этап 6.2.7

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- \frac{1}{3 π} \cdot \frac{- 1}{- 3 π + \sin (3 π \cdot 1)}$

Этап 6.2.8

Умножим $3$ на $1$ .

$- \frac{1}{3 π} \cdot \frac{- 1}{- 3 π + \sin (3 π)}$

Этап 6.2.9

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$- \frac{1}{3 π} \cdot \frac{- 1}{- 3 π + \sin (π)}$

Этап 6.2.10

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$- \frac{1}{3 π} \cdot \frac{- 1}{- 3 π + \sin (0)}$

Этап 6.2.11

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$- \frac{1}{3 π} \cdot \frac{- 1}{- 3 π + 0}$

Этап 6.2.12

Добавим $- 3 π$ и $0$ .

$- \frac{1}{3 π} \cdot \frac{- 1}{- 3 π}$

Этап 6.3

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$- \frac{1}{3 π} \cdot \frac{1}{3 π}$

Этап 6.4

Умножим $- \frac{1}{3 π} \cdot \frac{1}{3 π}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Умножим $\frac{1}{3 π}$ на $\frac{1}{3 π}$ .

$- \frac{1}{3 π (3 π)}$

Этап 6.4.2

Умножим $3$ на $3$ .

$- \frac{1}{9 π π}$

Этап 6.4.3

Возведем $π$ в степень $1$ .

$- \frac{1}{9 (π^{1} π)}$

Этап 6.4.4

Возведем $π$ в степень $1$ .

$- \frac{1}{9 (π^{1} π^{1})}$

Этап 6.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{1}{9 π^{1 + 1}}$

Этап 6.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{1}{9 π^{2}}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{1}{9 π^{2}}$

Десятичная форма:

$- 0.01125790 \dots$