Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 1} \frac{1 - x}{\ln (x)}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 1} 1 - x}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

Этап 1.1.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

Этап 1.1.2.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 1} x)}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{0}{\ln (1)}$

Этап 1.1.3.3

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 1} \frac{1 - x}{\ln (x)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $1 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Этап 1.3.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Этап 1.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Этап 1.3.4.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 1}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Этап 1.3.5

Вычтем $1$ из $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Этап 1.3.6

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 1}{\frac{1}{x}}$

Этап 1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 1} - x$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- lim_{x \to 1} x$

Этап 2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$- 1$