Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 1} {(2 - x)}^{\tan (\frac{π x}{2})}$

Этап 1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(2 - x)}^{\tan (\frac{π x}{2})}$ в виде $e^{\ln ({(2 - x)}^{\tan (\frac{π x}{2})})}$ .

$lim_{x \to 1} e^{\ln ({(2 - x)}^{\tan (\frac{π x}{2})})}$

Этап 1.2

Развернем $\ln ({(2 - x)}^{\tan (\frac{π x}{2})})$ , вынося $\tan (\frac{π x}{2})$ из логарифма.

$lim_{x \to 1} e^{\tan (\frac{π x}{2}) \ln (2 - x)}$

Этап 2

Внесем предел под знак экспоненты.

$e^{lim_{x \to 1} \tan (\frac{π x}{2}) \ln (2 - x)}$

Этап 3

Рассмотрим левосторонний предел.

$lim_{x \to 1^{-}} \tan (\frac{π x}{2}) \ln (2 - x)$

Этап 4

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $\tan (\frac{π x}{2}) \ln (2 - x)$ , когда $x$ стремится к $1$ слева.

$\begin{array}{c} x & \tan (\frac{π x}{2}) \ln (2 - x) \\ 0.9 & 0.60176479 \\ 0.99 & 0.63340563 \\ 0.999 & 0.63630115 \\ 0.9999 & 0.63658793 \\ 0.99999 & 0.63661658 \end{array}$

Этап 5

Если значения $x$ стремятся к $1$ , значения функции стремятся к $0.637$ . Таким образом, предел $\tan (\frac{π x}{2}) \ln (2 - x)$ , когда $x$ стремится к $1$ слева, равен $0.637$ .

$0.637$

Этап 6

Рассмотрим правосторонний предел.

$lim_{x \to 1^{+}} \tan (\frac{π x}{2}) \ln (2 - x)$

Этап 7

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $\tan (\frac{π x}{2}) \ln (2 - x)$ , когда $x$ стремится к $1$ справа.

$\begin{array}{c} x & \tan (\frac{π x}{2}) \ln (2 - x) \\ 1.1 & 0.66522011 \\ 1.01 & 0.63977162 \\ 1.001 & 0.63693777 \\ 1.0001 & 0.6366516 \end{array}$

Этап 8

Если значения $x$ стремятся к $1$ , значения функции стремятся к $0.637$ . Таким образом, предел $\tan (\frac{π x}{2}) \ln (2 - x)$ , когда $x$ стремится к $1$ справа, равен $0.637$ .

$e^{0.637}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$e^{0.637}$

Десятичная форма:

$1.89079996 \dots$