Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1} - \frac{3}{x^{3} - 1}$

Этап 1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы записать $\frac{1}{x - 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x^{3} - 1}{x^{3} - 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x^{3} - 1}{x^{3} - 1} - \frac{3}{x^{3} - 1}$

Этап 1.2

Чтобы записать $- \frac{3}{x^{3} - 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x^{3} - 1}{x^{3} - 1} - \frac{3}{x^{3} - 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Этап 1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x - 1) (x^{3} - 1)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $\frac{1}{x - 1}$ на $\frac{x^{3} - 1}{x^{3} - 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - 1}{(x - 1) (x^{3} - 1)} - \frac{3}{x^{3} - 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Этап 1.3.2

Умножим $\frac{3}{x^{3} - 1}$ на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - 1}{(x - 1) (x^{3} - 1)} - \frac{3 (x - 1)}{(x^{3} - 1) (x - 1)}$

Этап 1.3.3

Изменим порядок множителей в $(x^{3} - 1) (x - 1)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - 1}{(x - 1) (x^{3} - 1)} - \frac{3 (x - 1)}{(x - 1) (x^{3} - 1)}$

Этап 1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - 1 - 3 (x - 1)}{(x - 1) (x^{3} - 1)}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{3} - 1 - 3 (x - 1)}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

Этап 2.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x^{3} - lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} 3 (x - 1)}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

Этап 2.1.2.2

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} 3 (x - 1)}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

Этап 2.1.2.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 1 \cdot 1 - lim_{x \to 1} 3 (x - 1)}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

Этап 2.1.2.4

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 1 \cdot 1 - 3 lim_{x \to 1} x - 1}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

Этап 2.1.2.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 1 \cdot 1 - 3 (lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1)}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

Этап 2.1.2.6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 1 \cdot 1 - 3 (lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

Этап 2.1.2.7

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1^{3} - 1 \cdot 1 - 3 (lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

Этап 2.1.2.7.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1^{3} - 1 \cdot 1 - 3 (1 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

Этап 2.1.2.8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.8.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1 - 1 \cdot 1 - 3 (1 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

Этап 2.1.2.8.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1 - 3 (1 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

Этап 2.1.2.8.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1 - 3 (1 - 1)}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

Этап 2.1.2.8.1.4

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{1 - 1 - 3 \cdot 0}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

Этап 2.1.2.8.1.5

Умножим $- 3$ на $0$ .

$\frac{1 - 1 + 0}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

Этап 2.1.2.8.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

Этап 2.1.2.8.3

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

Этап 2.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Этап 2.1.3.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1) \cdot lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Этап 2.1.3.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Этап 2.1.3.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1) \cdot (lim_{x \to 1} x^{3} - lim_{x \to 1} 1)}$

Этап 2.1.3.5

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1) \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{3} - lim_{x \to 1} 1)}$

Этап 2.1.3.6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1) \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 1 \cdot 1)}$

Этап 2.1.3.7

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{0}{(1 - 1 \cdot 1) \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 1 \cdot 1)}$

Этап 2.1.3.7.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{0}{(1 - 1 \cdot 1) \cdot (1^{3} - 1 \cdot 1)}$

Этап 2.1.3.8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.8.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{(1 - 1) \cdot (1^{3} - 1 \cdot 1)}$

Этап 2.1.3.8.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot (1^{3} - 1 \cdot 1)}$

Этап 2.1.3.8.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.8.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{0}{0 \cdot (1 - 1 \cdot 1)}$

Этап 2.1.3.8.3.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot (1 - 1)}$

Этап 2.1.3.8.4

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Этап 2.1.3.8.5

Умножим $0$ на $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.8.6

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.9

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - 1 - 3 (x - 1)}{(x - 1) (x^{3} - 1)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1 - 3 (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{3} - 1)]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1 - 3 (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{3} - 1)]}$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $x^{3} - 1 - 3 (x - 1)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 3 (x - 1)]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 3 (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{3} - 1)]}$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 3 (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{3} - 1)]}$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [- 3 (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{3} - 1)]}$

Этап 2.3.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 (x - 1)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 (x - 1)$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x - 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} + 0 - 3 \frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{3} - 1)]}$

Этап 2.3.5.2

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} + 0 - 3 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{3} - 1)]}$

Этап 2.3.5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} + 0 - 3 (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{3} - 1)]}$

Этап 2.3.5.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} + 0 - 3 (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{3} - 1)]}$

Этап 2.3.5.5

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} + 0 - 3 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{3} - 1)]}$

Этап 2.3.5.6

Умножим $- 3$ на $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} + 0 - 3}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{3} - 1)]}$

Этап 2.3.6

Добавим $3 x^{2}$ и $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{3} - 1)]}$

Этап 2.3.7

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x - 1$ и $g (x) = x^{3} - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{(x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3} - 1] + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 2.3.8

По правилу суммы производная $x^{3} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 2.3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{(x - 1) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 2.3.10

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{(x - 1) (3 x^{2} + 0) + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 2.3.11

Добавим $3 x^{2}$ и $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{(x - 1) (3 x^{2}) + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 2.3.12

Перенесем $3$ влево от $x - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{3 \cdot (x - 1) x^{2} + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 2.3.13

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{3 (x - 1) x^{2} + (x^{3} - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}$

Этап 2.3.14

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{3 (x - 1) x^{2} + (x^{3} - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}$

Этап 2.3.15

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{3 (x - 1) x^{2} + (x^{3} - 1) (1 + 0)}$

Этап 2.3.16

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{3 (x - 1) x^{2} + (x^{3} - 1) \cdot 1}$

Этап 2.3.17

Умножим $x^{3} - 1$ на $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{3 (x - 1) x^{2} + x^{3} - 1}$

Этап 2.3.18

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.18.1

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{(3 x + 3 \cdot - 1) x^{2} + x^{3} - 1}$

Этап 2.3.18.2

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{3 x \cdot x^{2} + 3 \cdot - 1 x^{2} + x^{3} - 1}$

Этап 2.3.18.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.18.3.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.18.3.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{3 (x^{2} x) + 3 \cdot - 1 x^{2} + x^{3} - 1}$

Этап 2.3.18.3.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.18.3.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{3 (x^{2} x^{1}) + 3 \cdot - 1 x^{2} + x^{3} - 1}$

Этап 2.3.18.3.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{3 x^{2 + 1} + 3 \cdot - 1 x^{2} + x^{3} - 1}$

Этап 2.3.18.3.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{3 x^{3} + 3 \cdot - 1 x^{2} + x^{3} - 1}$

Этап 2.3.18.3.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{3 x^{3} - 3 x^{2} + x^{3} - 1}$

Этап 2.3.18.3.3

Добавим $3 x^{3}$ и $x^{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{4 x^{3} - 3 x^{2} - 1}$

Этап 3

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 3}{lim_{x \to 1} 4 x^{3} - 3 x^{2} - 1}$

Этап 3.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - lim_{x \to 1} 3}{lim_{x \to 1} 4 x^{3} - 3 x^{2} - 1}$

Этап 3.1.2.1.2

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 3}{lim_{x \to 1} 4 x^{3} - 3 x^{2} - 1}$

Этап 3.1.2.1.3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 3}{lim_{x \to 1} 4 x^{3} - 3 x^{2} - 1}$

Этап 3.1.2.1.4

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 1} 4 x^{3} - 3 x^{2} - 1}$

Этап 3.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{3 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 1} 4 x^{3} - 3 x^{2} - 1}$

Этап 3.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{3 \cdot 1 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 1} 4 x^{3} - 3 x^{2} - 1}$

Этап 3.1.2.3.1.2

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 1} 4 x^{3} - 3 x^{2} - 1}$

Этап 3.1.2.3.1.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{3 - 3}{lim_{x \to 1} 4 x^{3} - 3 x^{2} - 1}$

Этап 3.1.2.3.2

Вычтем $3$ из $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 4 x^{3} - 3 x^{2} - 1}$

Этап 3.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 4 x^{3} - lim_{x \to 1} 3 x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Этап 3.1.3.2

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{4 lim_{x \to 1} x^{3} - lim_{x \to 1} 3 x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Этап 3.1.3.3

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{4 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - lim_{x \to 1} 3 x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Этап 3.1.3.4

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{4 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 3 lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Этап 3.1.3.5

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{4 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Этап 3.1.3.6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{0}{4 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

Этап 3.1.3.7

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{0}{4 \cdot 1^{3} - 3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

Этап 3.1.3.7.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{0}{4 \cdot 1^{3} - 3 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1}$

Этап 3.1.3.8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.8.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{0}{4 \cdot 1 - 3 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1}$

Этап 3.1.3.8.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{0}{4 - 3 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1}$

Этап 3.1.3.8.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{0}{4 - 3 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Этап 3.1.3.8.1.4

Умножим $- 3$ на $1$ .

$\frac{0}{4 - 3 - 1 \cdot 1}$

Этап 3.1.3.8.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{4 - 3 - 1}$

Этап 3.1.3.8.2

Вычтем $3$ из $4$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Этап 3.1.3.8.3

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 3.1.3.8.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 3.1.3.9

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 3.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 3.2

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{4 x^{3} - 3 x^{2} - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 3]}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} - 3 x^{2} - 1]}$

Этап 3.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 3]}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} - 3 x^{2} - 1]}$

Этап 3.3.2

По правилу суммы производная $3 x^{2} - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} - 3 x^{2} - 1]}$

Этап 3.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} - 3 x^{2} - 1]}$

Этап 3.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} - 3 x^{2} - 1]}$

Этап 3.3.3.3

Умножим $2$ на $3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} - 3 x^{2} - 1]}$

Этап 3.3.4

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x + 0}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} - 3 x^{2} - 1]}$

Этап 3.3.5

Добавим $6 x$ и $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} - 3 x^{2} - 1]}$

Этап 3.3.6

По правилу суммы производная $4 x^{3} - 3 x^{2} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.3.7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.7.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x}{4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.3.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x}{4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.3.7.3

Умножим $3$ на $4$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x}{12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.3.8

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.8.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{2}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x}{12 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.3.8.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x}{12 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.3.8.3

Умножим $2$ на $- 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x}{12 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.3.9

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x}{12 x^{2} - 6 x + 0}$

Этап 3.3.10

Добавим $12 x^{2} - 6 x$ и $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x}{12 x^{2} - 6 x}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем член $6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$6 lim_{x \to 1} \frac{x}{12 x^{2} - 6 x}$

Этап 4.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$6 \frac{lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} 12 x^{2} - 6 x}$

Этап 4.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$6 \frac{lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} 12 x^{2} - lim_{x \to 1} 6 x}$

Этап 4.4

Вынесем член $12$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$6 \frac{lim_{x \to 1} x}{12 lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 6 x}$

Этап 4.5

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$6 \frac{lim_{x \to 1} x}{12 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 6 x}$

Этап 4.6

Вынесем член $6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$6 \frac{lim_{x \to 1} x}{12 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 1} x}$

Этап 5

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$6 \frac{1}{12 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 1} x}$

Этап 5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$6 \frac{1}{12 \cdot 1^{2} - 6 lim_{x \to 1} x}$

Этап 5.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$6 \frac{1}{12 \cdot 1^{2} - 6 \cdot 1}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$6 \frac{1}{12 \cdot 1 - 6 \cdot 1}$

Этап 6.1.2

Умножим $12$ на $1$ .

$6 \frac{1}{12 - 6 \cdot 1}$

Этап 6.1.3

Умножим $- 6$ на $1$ .

$6 \frac{1}{12 - 6}$

Этап 6.1.4

Вычтем $6$ из $12$ .

$6 (\frac{1}{6})$

Этап 6.2

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель.

$6 (\frac{1}{6})$

Этап 6.2.2

Перепишем это выражение.

$1$