Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{6 x - 9}{x^{3} - 12 x + 3}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 6 x - 9}{lim_{x \to 0} x^{3} - 12 x + 3}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 6 x - lim_{x \to 0} 9}{lim_{x \to 0} x^{3} - 12 x + 3}$

Этап 3

Вынесем член $6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{6 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 9}{lim_{x \to 0} x^{3} - 12 x + 3}$

Этап 4

Найдем предел $9$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{6 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 9}{lim_{x \to 0} x^{3} - 12 x + 3}$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{6 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 9}{lim_{x \to 0} x^{3} - lim_{x \to 0} 12 x + lim_{x \to 0} 3}$

Этап 6

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{6 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 9}{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} - lim_{x \to 0} 12 x + lim_{x \to 0} 3}$

Этап 7

Вынесем член $12$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{6 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 9}{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} - 12 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 3}$

Этап 8

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{6 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 9}{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} - 12 lim_{x \to 0} x + 3}$

Этап 9

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{6 \cdot 0 - 1 \cdot 9}{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} - 12 lim_{x \to 0} x + 3}$

Этап 9.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{6 \cdot 0 - 1 \cdot 9}{0^{3} - 12 lim_{x \to 0} x + 3}$

Этап 9.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{6 \cdot 0 - 1 \cdot 9}{0^{3} - 12 \cdot 0 + 3}$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Умножим $6$ на $0$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 9}{0^{3} - 12 \cdot 0 + 3}$

Этап 10.1.2

Умножим $- 1$ на $9$ .

$\frac{0 - 9}{0^{3} - 12 \cdot 0 + 3}$

Этап 10.1.3

Вычтем $9$ из $0$ .

$\frac{- 9}{0^{3} - 12 \cdot 0 + 3}$

Этап 10.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{- 9}{0 - 12 \cdot 0 + 3}$

Этап 10.2.2

Умножим $- 12$ на $0$ .

$\frac{- 9}{0 + 0 + 3}$

Этап 10.2.3

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{- 9}{0 + 3}$

Этап 10.2.4

Добавим $0$ и $3$ .

$\frac{- 9}{3}$

Этап 10.3

Разделим $- 9$ на $3$ .

$- 3$