Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x^{3} + 4 x^{2}}{4 x + 6 x^{3}}$

Этап 1

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 3 x^{3}}{x^{3}} + \frac{4 x^{2}}{x^{3}}}{\frac{4 x}{x^{3}} + \frac{6 x^{3}}{x^{3}}}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Сократим общий множитель $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 3 x^{3}}{x^{3}} + \frac{4 x^{2}}{x^{3}}}{\frac{4 x}{x^{3}} + \frac{6 x^{3}}{x^{3}}}$

Этап 2.1.1.2

Разделим $- 3$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{4 x^{2}}{x^{3}}}{\frac{4 x}{x^{3}} + \frac{6 x^{3}}{x^{3}}}$

Этап 2.1.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $4 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{x^{2} \cdot 4}{x^{3}}}{\frac{4 x}{x^{3}} + \frac{6 x^{3}}{x^{3}}}$

Этап 2.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{x^{2} \cdot 4}{x^{2} x}}{\frac{4 x}{x^{3}} + \frac{6 x^{3}}{x^{3}}}$

Этап 2.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{x^{2} \cdot 4}{x^{2} x}}{\frac{4 x}{x^{3}} + \frac{6 x^{3}}{x^{3}}}$

Этап 2.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{4}{x}}{\frac{4 x}{x^{3}} + \frac{6 x^{3}}{x^{3}}}$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $x$ и $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $4 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{4}{x}}{\frac{x \cdot 4}{x^{3}} + \frac{6 x^{3}}{x^{3}}}$

Этап 2.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{4}{x}}{\frac{x \cdot 4}{x \cdot x^{2}} + \frac{6 x^{3}}{x^{3}}}$

Этап 2.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{4}{x}}{\frac{x \cdot 4}{x \cdot x^{2}} + \frac{6 x^{3}}{x^{3}}}$

Этап 2.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{4}{x}}{\frac{4}{x^{2}} + \frac{6 x^{3}}{x^{3}}}$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{4}{x}}{\frac{4}{x^{2}} + \frac{6 x^{3}}{x^{3}}}$

Этап 2.2.2.2

Разделим $6$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{4}{x}}{\frac{4}{x^{2}} + 6}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} - 3 + \frac{4}{x}}{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} + 6}$

Этап 2.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{- lim_{x \to \infty} 3 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} + 6}$

Этап 2.5

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{- 1 \cdot 3 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} + 6}$

Этап 2.6

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- 3 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} + 6}$

Этап 3

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x}$ стремится к $0$ .

$\frac{- 3 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} + 6}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{- 3 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 6}$

Этап 4.2

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- 3 + 4 \cdot 0}{4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 6}$

Этап 5

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{2}}$ стремится к $0$ .

$\frac{- 3 + 4 \cdot 0}{4 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} 6}$

Этап 6

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем предел $6$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{- 3 + 4 \cdot 0}{4 \cdot 0 + 6}$

Этап 6.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель $- 3 + 4 \cdot 0$ и $4 \cdot 0 + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Изменим порядок членов.

$\frac{- 3 + 0 \cdot 4}{4 \cdot 0 + 6}$

Этап 6.2.1.2

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$\frac{3 (- 1) + 0 \cdot 4}{4 \cdot 0 + 6}$

Этап 6.2.1.3

Вынесем множитель $3$ из $0 \cdot 4$ .

$\frac{3 (- 1) + 3 (0 \cdot 4)}{4 \cdot 0 + 6}$

Этап 6.2.1.4

Вынесем множитель $3$ из $3 (- 1) + 3 (0 \cdot 4)$ .

$\frac{3 (- 1 + 0 \cdot 4)}{4 \cdot 0 + 6}$

Этап 6.2.1.5

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.5.1

Вынесем множитель $3$ из $4 \cdot 0$ .

$\frac{3 (- 1 + 0 \cdot 4)}{3 (4 \cdot 0) + 6}$

Этап 6.2.1.5.2

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{3 (- 1 + 0 \cdot 4)}{3 (4 \cdot 0) + 3 \cdot 2}$

Этап 6.2.1.5.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (4 \cdot 0) + 3 (2)$ .

$\frac{3 (- 1 + 0 \cdot 4)}{3 (4 \cdot 0 + 2)}$

Этап 6.2.1.5.4

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (- 1 + 0 \cdot 4)}{3 (4 \cdot 0 + 2)}$

Этап 6.2.1.5.5

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1 + 0 \cdot 4}{4 \cdot 0 + 2}$

Этап 6.2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Умножим $0$ на $4$ .

$\frac{- 1 + 0}{4 \cdot 0 + 2}$

Этап 6.2.2.2

Добавим $- 1$ и $0$ .

$\frac{- 1}{4 \cdot 0 + 2}$

Этап 6.2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Умножим $4$ на $0$ .

$\frac{- 1}{0 + 2}$

Этап 6.2.3.2

Добавим $0$ и $2$ .

$\frac{- 1}{2}$

Этап 6.2.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{2}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{1}{2}$

Десятичная форма:

$- 0.5$