Математический анализ Примеры

$\int \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x} d x$

Этап 1

Пусть $x = 3 \sec (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d x = 3 \sec (t) \tan (t) d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $3 \sec (t) \tan (t)$ положительно.

$\int \frac{\sqrt{{(3 \sec (t))}^{2} - 9}}{3 \sec (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $\sqrt{{(3 \sec (t))}^{2} - 9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Применим правило умножения к $3 \sec (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{3^{2} \sec^{2} (t) - 9}}{3 \sec (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.1.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\int \frac{\sqrt{9 \sec^{2} (t) - 9}}{3 \sec (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $9$ из $9 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{9 (\sec^{2} (t)) - 9}}{3 \sec (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $9$ из $- 9$ .

$\int \frac{\sqrt{9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1}}{3 \sec (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.1.4

Вынесем множитель $9$ из $9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1$ .

$\int \frac{\sqrt{9 (\sec^{2} (t) - 1)}}{3 \sec (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.1.5

Применим формулу Пифагора.

$\int \frac{\sqrt{9 \tan^{2} (t)}}{3 \sec (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.1.6

Перепишем $9 \tan^{2} (t)$ в виде ${(3 \tan (t))}^{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{{(3 \tan (t))}^{2}}}{3 \sec (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.1.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\int \frac{3 \tan (t)}{3 \sec (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.2

Сократим общий множитель $3 \sec (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $3 \sec (t)$ из $3 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{3 \tan (t)}{3 \sec (t)} (3 \sec (t) (\tan (t))) d t$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель.

$\int \frac{3 \tan (t)}{3 \sec (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.2.3

Перепишем это выражение.

$\int 3 \tan (t) \tan (t) d t$

Этап 3

Возведем $\tan (t)$ в степень $1$ .

$\int 3 (\tan^{1} (t) \tan (t)) d t$

Этап 4

Возведем $\tan (t)$ в степень $1$ .

$\int 3 (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) d t$

Этап 5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 3 {\tan (t)}^{1 + 1} d t$

Этап 6

Добавим $1$ и $1$ .

$\int 3 \tan^{2} (t) d t$

Этап 7

Поскольку $3$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int \tan^{2} (t) d t$

Этап 8

Используя формулы Пифагора, запишем $\tan^{2} (t)$ в виде $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$3 \int - 1 + \sec^{2} (t) d t$

Этап 9

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$3 (\int - 1 d t + \int \sec^{2} (t) d t)$

Этап 10

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$3 (- t + C + \int \sec^{2} (t) d t)$

Этап 11

Поскольку производная $\tan (t)$ равна $\sec^{2} (t)$ , интеграл $\sec^{2} (t)$ равен $\tan (t)$ .

$3 (- t + C + \tan (t) + C)$

Этап 12

Упростим.

$3 (- t + \tan (t)) + C$

Этап 13

Заменим все вхождения $t$ на $arcsec (\frac{x}{3})$ .

$3 (- arcsec (\frac{x}{3}) + \tan (arcsec (\frac{x}{3}))) + C$

Этап 14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(1, \sqrt{{(\frac{x}{3})}^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ и начале координат. Тогда $arcsec (\frac{x}{3})$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(1, \sqrt{{(\frac{x}{3})}^{2} - 1^{2}})$ . Следовательно, $\tan (arcsec (\frac{x}{3}))$ равно $\sqrt{{(\frac{x}{3})}^{2} - 1}$ .

$3 (- arcsec (\frac{x}{3}) + \sqrt{{(\frac{x}{3})}^{2} - 1}) + C$

Этап 14.1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$3 (- arcsec (\frac{x}{3}) + \sqrt{{(\frac{x}{3})}^{2} - 1^{2}}) + C$

Этап 14.1.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \frac{x}{3}$ и $b = 1$ .

$3 (- arcsec (\frac{x}{3}) + \sqrt{(\frac{x}{3} + 1) (\frac{x}{3} - 1)}) + C$

Этап 14.1.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$3 (- arcsec (\frac{x}{3}) + \sqrt{(\frac{x}{3} + \frac{3}{3}) (\frac{x}{3} - 1)}) + C$

Этап 14.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 (- arcsec (\frac{x}{3}) + \sqrt{\frac{x + 3}{3} (\frac{x}{3} - 1)}) + C$

Этап 14.1.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$3 (- arcsec (\frac{x}{3}) + \sqrt{\frac{x + 3}{3} (\frac{x}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3})}) + C$

Этап 14.1.7

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$3 (- arcsec (\frac{x}{3}) + \sqrt{\frac{x + 3}{3} (\frac{x}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3})}) + C$

Этап 14.1.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 (- arcsec (\frac{x}{3}) + \sqrt{\frac{x + 3}{3} \cdot \frac{x - 1 \cdot 3}{3}}) + C$

Этап 14.1.9

Умножим $- 1$ на $3$ .

$3 (- arcsec (\frac{x}{3}) + \sqrt{\frac{x + 3}{3} \cdot \frac{x - 3}{3}}) + C$

Этап 14.1.10

Умножим $\frac{x + 3}{3}$ на $\frac{x - 3}{3}$ .

$3 (- arcsec (\frac{x}{3}) + \sqrt{\frac{(x + 3) (x - 3)}{3 \cdot 3}}) + C$

Этап 14.1.11

Умножим $3$ на $3$ .

$3 (- arcsec (\frac{x}{3}) + \sqrt{\frac{(x + 3) (x - 3)}{9}}) + C$

Этап 14.1.12

Перепишем $\frac{(x + 3) (x - 3)}{9}$ в виде ${(\frac{1}{3})}^{2} ((x + 3) (x - 3))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.12.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $(x + 3) (x - 3)$ .

$3 (- arcsec (\frac{x}{3}) + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 3) (x - 3))}{9}}) + C$

Этап 14.1.12.2

Вынесем полную степень $3^{2}$ из $9$ .

$3 (- arcsec (\frac{x}{3}) + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 3) (x - 3))}{3^{2} \cdot 1}}) + C$

Этап 14.1.12.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} ((x + 3) (x - 3))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$3 (- arcsec (\frac{x}{3}) + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} ((x + 3) (x - 3))}) + C$

Этап 14.1.13

Вынесем члены из-под знака корня.

$3 (- arcsec (\frac{x}{3}) + \frac{1}{3} \sqrt{(x + 3) (x - 3)}) + C$

Этап 14.1.14

Объединим $\frac{1}{3}$ и $\sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ .

$3 (- arcsec (\frac{x}{3}) + \frac{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{3}) + C$

Этап 14.2

Чтобы записать $- arcsec (\frac{x}{3})$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$3 (- arcsec (\frac{x}{3}) \cdot \frac{3}{3} + \frac{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{3}) + C$

Этап 14.3

Объединим $- arcsec (\frac{x}{3})$ и $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{- arcsec (\frac{x}{3}) \cdot 3}{3} + \frac{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{3}) + C$

Этап 14.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 \frac{- arcsec (\frac{x}{3}) \cdot 3 + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{3} + C$

Этап 14.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{- arcsec (\frac{x}{3}) \cdot 3 + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{3} + C$

Этап 14.5.2

Перепишем это выражение.

$- arcsec (\frac{x}{3}) \cdot 3 + \sqrt{(x + 3) (x - 3)} + C$

Этап 14.6

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 3 arcsec (\frac{x}{3}) + \sqrt{(x + 3) (x - 3)} + C$

Этап 15

Изменим порядок членов.

$- 3 arcsec (\frac{1}{3} x) + \sqrt{(x + 3) (x - 3)} + C$