Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 2} \frac{7 x - 14}{6 x^{2} - 24}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 2} 7 x - 14}{lim_{x \to 2} 6 x^{2} - 24}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} 7 x - lim_{x \to 2} 14}{lim_{x \to 2} 6 x^{2} - 24}$

Этап 1.1.2.1.2

Вынесем член $7$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{7 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 14}{lim_{x \to 2} 6 x^{2} - 24}$

Этап 1.1.2.1.3

Найдем предел $14$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{7 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 14}{lim_{x \to 2} 6 x^{2} - 24}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{7 \cdot 2 - 1 \cdot 14}{lim_{x \to 2} 6 x^{2} - 24}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Умножим $7$ на $2$ .

$\frac{14 - 1 \cdot 14}{lim_{x \to 2} 6 x^{2} - 24}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Умножим $- 1$ на $14$ .

$\frac{14 - 14}{lim_{x \to 2} 6 x^{2} - 24}$

Этап 1.1.2.3.2

Вычтем $14$ из $14$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} 6 x^{2} - 24}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} 6 x^{2} - lim_{x \to 2} 24}$

Этап 1.1.3.1.2

Вынесем член $6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{6 lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 24}$

Этап 1.1.3.1.3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{6 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 24}$

Этап 1.1.3.1.4

Найдем предел $24$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{0}{6 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 24}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{0}{6 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 24}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{0}{6 \cdot 4 - 1 \cdot 24}$

Этап 1.1.3.3.1.2

Умножим $6$ на $4$ .

$\frac{0}{24 - 1 \cdot 24}$

Этап 1.1.3.3.1.3

Умножим $- 1$ на $24$ .

$\frac{0}{24 - 24}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $24$ из $24$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 2} \frac{7 x - 14}{6 x^{2} - 24} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [7 x - 14]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} - 24]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [7 x - 14]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} - 24]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $7 x - 14$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 14]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 14]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} - 24]}$

Этап 1.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 14]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} - 24]}$

Этап 1.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 14]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} - 24]}$

Этап 1.3.3.3

Умножим $7$ на $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{7 + \frac{d}{d x} [- 14]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} - 24]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $- 14$ является константой относительно $x$ , производная $- 14$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{7 + 0}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} - 24]}$

Этап 1.3.5

Добавим $7$ и $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{7}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} - 24]}$

Этап 1.3.6

По правилу суммы производная $6 x^{2} - 24$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{7}{\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24]}$

Этап 1.3.7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x^{2}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{7}{6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24]}$

Этап 1.3.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{7}{6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 24]}$

Этап 1.3.7.3

Умножим $2$ на $6$ .

$lim_{x \to 2} \frac{7}{12 x + \frac{d}{d x} [- 24]}$

Этап 1.3.8

Поскольку $- 24$ является константой относительно $x$ , производная $- 24$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{7}{12 x + 0}$

Этап 1.3.9

Добавим $12 x$ и $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{7}{12 x}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $\frac{7}{12}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{7}{12} lim_{x \to 2} \frac{1}{x}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{7}{12} \cdot \frac{lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} x}$

Этап 2.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{7}{12} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 2} x}$

Этап 3

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{7}{12} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 4

Умножим $\frac{7}{12} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{7}{12}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{7}{12 \cdot 2}$

Этап 4.2

Умножим $12$ на $2$ .

$\frac{7}{24}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{7}{24}$

Десятичная форма:

$0.291\overline{6}$