Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{{(7 + x)}^{3} - 343}{x}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} {(7 + x)}^{3} - 343}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} {(7 + x)}^{3} - lim_{x \to 0} 343}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.1.2

Вынесем степень $3$ в выражении ${(7 + x)}^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 0} 7 + x)}^{3} - lim_{x \to 0} 343}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.1.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{{(lim_{x \to 0} 7 + lim_{x \to 0} x)}^{3} - lim_{x \to 0} 343}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.1.4

Найдем предел $7$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{{(7 + lim_{x \to 0} x)}^{3} - lim_{x \to 0} 343}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.1.5

Найдем предел $343$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{{(7 + lim_{x \to 0} x)}^{3} - 1 \cdot 343}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{{(7 + 0)}^{3} - 1 \cdot 343}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Добавим $7$ и $0$ .

$\frac{7^{3} - 1 \cdot 343}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Возведем $7$ в степень $3$ .

$\frac{343 - 1 \cdot 343}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.3.1.3

Умножим $- 1$ на $343$ .

$\frac{343 - 343}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.3.2

Вычтем $343$ из $343$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{{(7 + x)}^{3} - 343}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(7 + x)}^{3} - 343]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(7 + x)}^{3} - 343]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная ${(7 + x)}^{3} - 343$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [{(7 + x)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 343]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(7 + x)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 343]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [{(7 + x)}^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = 7 + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $7 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [7 + x] + \frac{d}{d x} [- 343]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 u^{2} \frac{d}{d x} [7 + x] + \frac{d}{d x} [- 343]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $7 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 {(7 + x)}^{2} \frac{d}{d x} [7 + x] + \frac{d}{d x} [- 343]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.3.2

По правилу суммы производная $7 + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 {(7 + x)}^{2} (\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 343]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.3.3

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 {(7 + x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 343]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 {(7 + x)}^{2} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 343]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.3.5

Добавим $0$ и $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 {(7 + x)}^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 343]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.3.6

Умножим $3$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 {(7 + x)}^{2} + \frac{d}{d x} [- 343]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $- 343$ является константой относительно $x$ , производная $- 343$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 {(7 + x)}^{2} + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.5

Добавим $3 {(7 + x)}^{2}$ и $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 {(7 + x)}^{2}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 {(7 + x)}^{2}}{1}$

Этап 1.4

Разделим $3 {(7 + x)}^{2}$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} 3 {(7 + x)}^{2}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$3 lim_{x \to 0} {(7 + x)}^{2}$

Этап 2.2

Вынесем степень $2$ в выражении ${(7 + x)}^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$3 {(lim_{x \to 0} 7 + x)}^{2}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$3 {(lim_{x \to 0} 7 + lim_{x \to 0} x)}^{2}$

Этап 2.4

Найдем предел $7$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$3 {(7 + lim_{x \to 0} x)}^{2}$

Этап 3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$3 {(7 + 0)}^{2}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Добавим $7$ и $0$ .

$3 \cdot 7^{2}$

Этап 4.2

Возведем $7$ в степень $2$ .

$3 \cdot 49$

Этап 4.3

Умножим $3$ на $49$ .

$147$