Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 2} \frac{2 x^{2} - 8}{x + 2}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} 2 x^{2} - 8}{lim_{x \to 2} x + 2}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} 2 x^{2} - lim_{x \to 2} 8}{lim_{x \to 2} x + 2}$

Этап 3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 8}{lim_{x \to 2} x + 2}$

Этап 4

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 8}{lim_{x \to 2} x + 2}$

Этап 5

Найдем предел $8$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 2} x + 2}$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 2}$

Этап 7

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 2} x + 2}$

Этап 8

Найдем значения пределов, подставив значение $2$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{2 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 2} x + 2}$

Этап 8.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{2 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 8}{2 + 2}$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Сократим общий множитель $2 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 8$ и $2 + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $2 \cdot 2^{2}$ .

$\frac{- (- 2 \cdot 2^{2}) - 1 \cdot 8}{2 + 2}$

Этап 9.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 \cdot 8$ .

$\frac{- (- 2 \cdot 2^{2}) - 1 (8)}{2 + 2}$

Этап 9.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (- 2 \cdot 2^{2}) - 1 (8)$ .

$\frac{- (- 2 \cdot 2^{2} + 8)}{2 + 2}$

Этап 9.1.4

Перепишем $- (- 2 \cdot 2^{2} + 8)$ в виде $- 1 (- 2 \cdot 2^{2} + 8)$ .

$\frac{- 1 (- 2 \cdot 2^{2} + 8)}{2 + 2}$

Этап 9.1.5

Вынесем множитель $2$ из $- 1 (- 2 \cdot 2^{2} + 8)$ .

$\frac{2 (- 1 (- 2^{2} + 4))}{2 + 2}$

Этап 9.1.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.6.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (- 1 (- 2^{2} + 4))}{2 \cdot 1 + 2}$

Этап 9.1.6.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (- 1 (- 2^{2} + 4))}{2 \cdot 1 + 2 (1)}$

Этап 9.1.6.3

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1 + 2 (1)$ .

$\frac{2 (- 1 (- 2^{2} + 4))}{2 \cdot (1 + 1)}$

Этап 9.1.6.4

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- 1 (- 2^{2} + 4))}{2 \cdot (1 + 1)}$

Этап 9.1.6.5

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1 (- 2^{2} + 4)}{1 + 1}$

Этап 9.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{- 1 (- 1 \cdot 4 + 4)}{1 + 1}$

Этап 9.2.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{- 1 (- 4 + 4)}{1 + 1}$

Этап 9.2.3

Добавим $- 4$ и $4$ .

$\frac{- 1 \cdot 0}{1 + 1}$

Этап 9.3

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 0}{2}$

Этап 9.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{0}{2}$

Этап 9.5

Разделим $0$ на $2$ .

$0$