Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 2} \sqrt{\frac{x^{2} + 3 x + 4}{x^{3} + 1}}$

Этап 1

Внесем предел под знак радикала.

$\sqrt{lim_{x \to 2} \frac{x^{2} + 3 x + 4}{x^{3} + 1}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 2} x^{2} + 3 x + 4}{lim_{x \to 2} x^{3} + 1}}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} 3 x + lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} x^{3} + 1}}$

Этап 4

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} 3 x + lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} x^{3} + 1}}$

Этап 5

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} x^{3} + 1}}$

Этап 6

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 2} x + 4}{lim_{x \to 2} x^{3} + 1}}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 2} x + 4}{lim_{x \to 2} x^{3} + lim_{x \to 2} 1}}$

Этап 8

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 2} x + 4}{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} + lim_{x \to 2} 1}}$

Этап 9

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 2} x + 4}{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} + 1}}$

Этап 10

Найдем значения пределов, подставив значение $2$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\sqrt{\frac{2^{2} + 3 lim_{x \to 2} x + 4}{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} + 1}}$

Этап 10.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\sqrt{\frac{2^{2} + 3 \cdot 2 + 4}{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} + 1}}$

Этап 10.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\sqrt{\frac{2^{2} + 3 \cdot 2 + 4}{2^{3} + 1}}$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{4 + 3 \cdot 2 + 4}{2^{3} + 1}}$

Этап 11.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\sqrt{\frac{4 + 6 + 4}{2^{3} + 1}}$

Этап 11.3

Добавим $4$ и $6$ .

$\sqrt{\frac{10 + 4}{2^{3} + 1}}$

Этап 11.4

Добавим $10$ и $4$ .

$\sqrt{\frac{14}{2^{3} + 1}}$

Этап 11.5

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\sqrt{\frac{14}{8 + 1}}$

Этап 11.6

Добавим $8$ и $1$ .

$\sqrt{\frac{14}{9}}$

Этап 11.7

Перепишем $\sqrt{\frac{14}{9}}$ в виде $\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{9}}$ .

$\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{9}}$

Этап 11.8

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.8.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{3^{2}}}$

Этап 11.8.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{\sqrt{14}}{3}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\sqrt{14}}{3}$

Десятичная форма:

$1.24721912 \dots$