Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - x^{2}}{x^{2} - 1}$

Этап 1

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x^{2}} - \frac{x^{2}}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x^{2}} - \frac{x^{2}}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x^{2}} - 1 \cdot 1}{\frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 2.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x^{2}} - 1}{\frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 2.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x^{2}} - 1}{\frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 2.2.2

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x^{2}} - 1}{1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} - 1}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 2.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 2.5

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 3

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{2}}$ стремится к $0$ .

$\frac{4 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{4 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 4.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{4 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 4.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{4 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 5

$\frac{4 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{1 - 0}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Умножим $4$ на $0$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 1}{1 - 0}$

Этап 6.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0 - 1}{1 - 0}$

Этап 6.1.3

Вычтем $1$ из $0$ .

$\frac{- 1}{1 - 0}$

Этап 6.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{- 1}{1 + 0}$

Этап 6.2.2

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{- 1}{1}$

Этап 6.3

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 1$