Математический анализ Примеры

$y = \frac{3 x - 2}{2 x + 1}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 3 x - 2$ и $g (x) = 2 x + 1$ .

$f' (x) = \frac{(2 x + 1) \frac{d}{d x} (3 x - 2) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $3 x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f' (x) = \frac{(2 x + 1) (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (- 2)) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Этап 1.2.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{(2 x + 1) (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(2 x + 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 2)) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Этап 1.2.4

Умножим $3$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{(2 x + 1) (3 + \frac{d}{d x} (- 2)) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Этап 1.2.5

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{(2 x + 1) (3 + 0) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Этап 1.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Добавим $3$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{(2 x + 1) \cdot 3 - (3 x - 2) \frac{d}{d x} (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Этап 1.2.6.2

Перенесем $3$ влево от $2 x + 1$ .

$f' (x) = \frac{3 \cdot (2 x + 1) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Этап 1.2.7

По правилу суммы производная $2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{3 (2 x + 1) - (3 x - 2) (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1))}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Этап 1.2.8

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{3 (2 x + 1) - (3 x - 2) (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Этап 1.2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{3 (2 x + 1) - (3 x - 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1))}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Этап 1.2.10

Умножим $2$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{3 (2 x + 1) - (3 x - 2) (2 + \frac{d}{d x} (1))}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Этап 1.2.11

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{3 (2 x + 1) - (3 x - 2) (2 + 0)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Этап 1.2.12

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.12.1

Добавим $2$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{3 (2 x + 1) - (3 x - 2) \cdot 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Этап 1.2.12.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = \frac{3 (2 x + 1) - 2 (3 x - 2)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{3 (2 x) + 3 \cdot 1 - 2 (3 x - 2)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Этап 1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{3 (2 x) + 3 \cdot 1 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Этап 1.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Объединим противоположные члены в $3 (2 x) + 3 \cdot 1 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.1

Изменим порядок множителей в членах $3 (2 x)$ и $- 2 (3 x)$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot (3 x) + 3 \cdot 1 - 2 \cdot (3 x) - 2 \cdot - 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Этап 1.3.3.1.2

Вычтем $2 \cdot 3 x$ из $2 \cdot 3 x$ .

$f' (x) = \frac{3 \cdot 1 + 0 - 2 \cdot - 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Этап 1.3.3.1.3

Добавим $3 \cdot 1$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{3 \cdot 1 - 2 \cdot - 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Этап 1.3.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.1

Умножим $3$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{3 - 2 \cdot - 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Этап 1.3.3.2.2

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$f' (x) = \frac{3 + 4}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Этап 1.3.3.3

Добавим $3$ и $4$ .

$f' (x) = \frac{7}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{7}{{(2 x + 1)}^{2}}$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(2 x + 1)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 7 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(2 x + 1)}^{2}})$

Этап 2.1.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Перепишем $\frac{1}{{(2 x + 1)}^{2}}$ в виде ${({(2 x + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 7 \frac{d}{d x} ({({(2 x + 1)}^{2})}^{- 1})$

Этап 2.1.2.2

Перемножим экспоненты в ${({(2 x + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 7 \frac{d}{d x} ({(2 x + 1)}^{2 \cdot - 1})$

Этап 2.1.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 7 \frac{d}{d x} ({(2 x + 1)}^{- 2})$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 2}$ и $g (x) = 2 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x + 1$ .

$f'' (x) = 7 (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 2$ .

$f'' (x) = 7 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x + 1$ .

$f'' (x) = 7 (- 2 {(2 x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $- 2$ на $7$ .

$f'' (x) = - 14 ({(2 x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = - 14 {(2 x + 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1))$

Этап 2.3.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 14 {(2 x + 1)}^{- 3} (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 14 {(2 x + 1)}^{- 3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1))$

Этап 2.3.5

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = - 14 {(2 x + 1)}^{- 3} (2 + \frac{d}{d x} (1))$

Этап 2.3.6

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - 14 {(2 x + 1)}^{- 3} (2 + 0)$

Этап 2.3.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Добавим $2$ и $0$ .

$f'' (x) = - 14 {(2 x + 1)}^{- 3} \cdot 2$

Этап 2.3.7.2

Умножим $2$ на $- 14$ .

$f'' (x) = - 28 {(2 x + 1)}^{- 3}$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 28 \frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}}$

Этап 2.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Объединим $- 28$ и $\frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 28}{{(2 x + 1)}^{3}}$

Этап 2.4.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{28}{{(2 x + 1)}^{3}}$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Поскольку $- 28$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{28}{{(2 x + 1)}^{3}}$ по $x$ равна $- 28 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}}]$ .

$f''' (x) = - 28 \frac{d}{d x} \frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}}$

Этап 3.1.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Перепишем $\frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}}$ в виде ${({(2 x + 1)}^{3})}^{- 1}$ .

$f''' (x) = - 28 \frac{d}{d x} {({(2 x + 1)}^{3})}^{- 1}$

Этап 3.1.2.2

Перемножим экспоненты в ${({(2 x + 1)}^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = - 28 \frac{d}{d x} {(2 x + 1)}^{3 \cdot - 1}$

Этап 3.1.2.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f''' (x) = - 28 \frac{d}{d x} {(2 x + 1)}^{- 3}$

Этап 3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x + 1$ .

$f''' (x) = - 28 (\frac{d}{d u} (u^{- 3}) \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 3$ .

$f''' (x) = - 28 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x + 1$ .

$f''' (x) = - 28 (- 3 {(2 x + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $- 3$ на $- 28$ .

$f''' (x) = 84 ({(2 x + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Этап 3.3.2

По правилу суммы производная $2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f''' (x) = 84 {(2 x + 1)}^{- 4} (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1))$

Этап 3.3.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f''' (x) = 84 {(2 x + 1)}^{- 4} (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

Этап 3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f''' (x) = 84 {(2 x + 1)}^{- 4} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1))$

Этап 3.3.5

Умножим $2$ на $1$ .

$f''' (x) = 84 {(2 x + 1)}^{- 4} (2 + \frac{d}{d x} (1))$

Этап 3.3.6

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f''' (x) = 84 {(2 x + 1)}^{- 4} (2 + 0)$

Этап 3.3.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.7.1

Добавим $2$ и $0$ .

$f''' (x) = 84 {(2 x + 1)}^{- 4} \cdot 2$

Этап 3.3.7.2

Умножим $2$ на $84$ .

$f''' (x) = 168 {(2 x + 1)}^{- 4}$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = 168 (\frac{1}{{(2 x + 1)}^{4}})$

Этап 3.4.2

Объединим $168$ и $\frac{1}{{(2 x + 1)}^{4}}$ .

$f''' (x) = \frac{168}{{(2 x + 1)}^{4}}$

Этап 4

Найдем четвертую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Поскольку $168$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{168}{{(2 x + 1)}^{4}}$ по $x$ равна $168 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(2 x + 1)}^{4}}]$ .

$f^{4} (x) = 168 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(2 x + 1)}^{4}})$

Этап 4.1.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Перепишем $\frac{1}{{(2 x + 1)}^{4}}$ в виде ${({(2 x + 1)}^{4})}^{- 1}$ .

$f^{4} (x) = 168 \frac{d}{d x} ({({(2 x + 1)}^{4})}^{- 1})$

Этап 4.1.2.2

Перемножим экспоненты в ${({(2 x + 1)}^{4})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = 168 \frac{d}{d x} ({(2 x + 1)}^{4 \cdot - 1})$

Этап 4.1.2.2.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f^{4} (x) = 168 \frac{d}{d x} ({(2 x + 1)}^{- 4})$

Этап 4.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x + 1$ .

$f^{4} (x) = 168 (\frac{d}{d u} (u^{- 4}) \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Этап 4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 4$ .

$f^{4} (x) = 168 (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Этап 4.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x + 1$ .

$f^{4} (x) = 168 (- 4 {(2 x + 1)}^{- 5} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Этап 4.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $- 4$ на $168$ .

$f^{4} (x) = - 672 ({(2 x + 1)}^{- 5} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Этап 4.3.2

По правилу суммы производная $2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f^{4} (x) = - 672 {(2 x + 1)}^{- 5} (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1))$

Этап 4.3.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f^{4} (x) = - 672 {(2 x + 1)}^{- 5} (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

Этап 4.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f^{4} (x) = - 672 {(2 x + 1)}^{- 5} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1))$

Этап 4.3.5

Умножим $2$ на $1$ .

$f^{4} (x) = - 672 {(2 x + 1)}^{- 5} (2 + \frac{d}{d x} (1))$

Этап 4.3.6

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f^{4} (x) = - 672 {(2 x + 1)}^{- 5} (2 + 0)$

Этап 4.3.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.1

Добавим $2$ и $0$ .

$f^{4} (x) = - 672 {(2 x + 1)}^{- 5} \cdot 2$

Этап 4.3.7.2

Умножим $2$ на $- 672$ .

$f^{4} (x) = - 1344 {(2 x + 1)}^{- 5}$

Этап 4.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = - 1344 \frac{1}{{(2 x + 1)}^{5}}$

Этап 4.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Объединим $- 1344$ и $\frac{1}{{(2 x + 1)}^{5}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 1344}{{(2 x + 1)}^{5}}$

Этап 4.4.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f^{4} (x) = - \frac{1344}{{(2 x + 1)}^{5}}$