Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 2} \frac{x^{3} - x^{2} - x - 2}{2 x^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 6}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x^{3} - x^{2} - x - 2}{lim_{x \to 2} 2 x^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 6}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x^{3} - lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} 2 x^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 6}$

Этап 3

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} 2 x^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 6}$

Этап 4

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} 2 x^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 6}$

Этап 5

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} 2 x^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 6}$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} 2 x^{3} - lim_{x \to 2} 5 y^{2} + lim_{x \to 2} 5 y - lim_{x \to 2} 6}$

Этап 7

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{2 lim_{x \to 2} x^{3} - lim_{x \to 2} 5 y^{2} + lim_{x \to 2} 5 y - lim_{x \to 2} 6}$

Этап 8

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - lim_{x \to 2} 5 y^{2} + lim_{x \to 2} 5 y - lim_{x \to 2} 6}$

Этап 9

Найдем предел $5 y^{2}$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 5 y^{2} + lim_{x \to 2} 5 y - lim_{x \to 2} 6}$

Этап 10

Найдем предел $5 y$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 5 y^{2} + 5 y - lim_{x \to 2} 6}$

Этап 11

Найдем предел $6$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Этап 12

Найдем значения пределов, подставив значение $2$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{2^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Этап 12.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{2^{3} - 2^{2} - lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Этап 12.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{2^{3} - 2^{2} - 2 - 1 \cdot 2}{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Этап 12.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{2^{3} - 2^{2} - 2 - 1 \cdot 2}{2 \cdot 2^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Этап 13

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{8 - 2^{2} - 2 - 1 \cdot 2}{2 \cdot 2^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Этап 13.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{8 - 1 \cdot 4 - 2 - 1 \cdot 2}{2 \cdot 2^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Этап 13.1.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{8 - 4 - 2 - 1 \cdot 2}{2 \cdot 2^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Этап 13.1.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{8 - 4 - 2 - 2}{2 \cdot 2^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Этап 13.1.5

Вычтем $4$ из $8$ .

$\frac{4 - 2 - 2}{2 \cdot 2^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Этап 13.1.6

Вычтем $2$ из $4$ .

$\frac{2 - 2}{2 \cdot 2^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Этап 13.1.7

Вычтем $2$ из $2$ .

$\frac{0}{2 \cdot 2^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Этап 13.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Умножим $2$ на $2^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.1

Умножим $2$ на $2^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.1.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$\frac{0}{2^{1} \cdot 2^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Этап 13.2.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{0}{2^{1 + 3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Этап 13.2.1.2

Добавим $1$ и $3$ .

$\frac{0}{2^{4} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Этап 13.2.2

Возведем $2$ в степень $4$ .

$\frac{0}{16 - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Этап 13.2.3

Умножим $- 1$ на $6$ .

$\frac{0}{16 - 5 y^{2} + 5 y - 6}$

Этап 13.2.4

Вычтем $6$ из $16$ .

$\frac{0}{- 5 y^{2} + 5 y + 10}$

Этап 13.2.5

Перепишем $- 5 y^{2} + 5 y + 10$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.5.1

Вынесем множитель $5$ из $- 5 y^{2} + 5 y + 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.5.1.1

Вынесем множитель $5$ из $- 5 y^{2}$ .

$\frac{0}{5 (- y^{2}) + 5 y + 10}$

Этап 13.2.5.1.2

Вынесем множитель $5$ из $5 y$ .

$\frac{0}{5 (- y^{2}) + 5 (y) + 10}$

Этап 13.2.5.1.3

Вынесем множитель $5$ из $10$ .

$\frac{0}{5 (- y^{2}) + 5 y + 5 \cdot 2}$

Этап 13.2.5.1.4

Вынесем множитель $5$ из $5 (- y^{2}) + 5 y$ .

$\frac{0}{5 (- y^{2} + y) + 5 \cdot 2}$

Этап 13.2.5.1.5

Вынесем множитель $5$ из $5 (- y^{2} + y) + 5 \cdot 2$ .

$\frac{0}{5 (- y^{2} + y + 2)}$

Этап 13.2.5.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.5.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot 2 = - 2$ , а сумма — $b = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.5.2.1.1

Умножим на $1$ .

$\frac{0}{5 (- y^{2} + 1 y + 2)}$

Этап 13.2.5.2.1.2

Запишем $1$ как $- 1$ плюс $2$

$\frac{0}{5 (- y^{2} + (- 1 + 2) y + 2)}$

Этап 13.2.5.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{0}{5 (- y^{2} - 1 y + 2 y + 2)}$

Этап 13.2.5.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.5.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{0}{5 ((- y^{2} - 1 y) + 2 y + 2)}$

Этап 13.2.5.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{0}{5 (y (- y - 1) - 2 (- y - 1))}$

Этап 13.2.5.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- y - 1$ .

$\frac{0}{5 ((- y - 1) (y - 2))}$

$\frac{0}{5 (- y - 1) (y - 2)}$

Этап 13.3

Сократим общий множитель $0$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Вынесем множитель $5$ из $0$ .

$\frac{5 (0)}{5 (- y - 1) (y - 2)}$

Этап 13.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5 (- y - 1) (y - 2)$ .

$\frac{5 (0)}{5 ((- y - 1) (y - 2))}$

Этап 13.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 \cdot 0}{5 ((- y - 1) (y - 2))}$

Этап 13.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{0}{(- y - 1) (y - 2)}$

Этап 13.4

Разделим $0$ на $(- y - 1) (y - 2)$ .

$0$