Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - 2} \frac{\sqrt[3]{4 x - x^{3}}}{3 x^{2} \cdot (13 x) + 14}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- 2$ .

$\frac{lim_{x \to - 2} \sqrt[3]{4 x - x^{3}}}{lim_{x \to - 2} 3 x^{2} \cdot (13 x) + 14}$

Этап 2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to - 2} 4 x - x^{3}}}{lim_{x \to - 2} 3 x^{2} \cdot (13 x) + 14}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 2$ .

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to - 2} 4 x - lim_{x \to - 2} x^{3}}}{lim_{x \to - 2} 3 x^{2} \cdot (13 x) + 14}$

Этап 4

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{4 lim_{x \to - 2} x - lim_{x \to - 2} x^{3}}}{lim_{x \to - 2} 3 x^{2} \cdot (13 x) + 14}$

Этап 5

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\sqrt[3]{4 lim_{x \to - 2} x - {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}}{lim_{x \to - 2} 3 x^{2} \cdot (13 x) + 14}$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 2$ .

$\frac{\sqrt[3]{4 lim_{x \to - 2} x - {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}}{lim_{x \to - 2} 3 x^{2} \cdot 13 x + lim_{x \to - 2} 14}$

Этап 7

Вынесем член $3 \cdot 13$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{4 lim_{x \to - 2} x - {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}}{3 \cdot 13 lim_{x \to - 2} x^{2} x + lim_{x \to - 2} 14}$

Этап 8

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $- 2$ .

$\frac{\sqrt[3]{4 lim_{x \to - 2} x - {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}}{3 \cdot 13 lim_{x \to - 2} x^{2} \cdot lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 14}$

Этап 9

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\sqrt[3]{4 lim_{x \to - 2} x - {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}}{3 \cdot 13 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} \cdot lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 14}$

Этап 10

Найдем предел $14$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 2$ .

$\frac{\sqrt[3]{4 lim_{x \to - 2} x - {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}}{3 \cdot 13 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} \cdot lim_{x \to - 2} x + 14}$

Этап 11

Найдем значения пределов, подставив значение $- 2$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 2$ для $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{4 \cdot - 2 - {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}}{3 \cdot 13 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} \cdot lim_{x \to - 2} x + 14}$

Этап 11.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 2$ для $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{4 \cdot - 2 - {(- 2)}^{3}}}{3 \cdot 13 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} \cdot lim_{x \to - 2} x + 14}$

Этап 11.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 2$ для $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{4 \cdot - 2 - {(- 2)}^{3}}}{3 \cdot 13 {(- 2)}^{2} \cdot lim_{x \to - 2} x + 14}$

Этап 11.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 2$ для $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{4 \cdot - 2 - {(- 2)}^{3}}}{3 \cdot 13 {(- 2)}^{2} \cdot - 2 + 14}$

Этап 12

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Умножим $4$ на $- 2$ .

$\frac{\sqrt[3]{- 8 - {(- 2)}^{3}}}{3 \cdot 13 {(- 2)}^{2} \cdot - 2 + 14}$

Этап 12.1.2

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$\frac{\sqrt[3]{- 8 - - 8}}{3 \cdot 13 {(- 2)}^{2} \cdot - 2 + 14}$

Этап 12.1.3

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$\frac{\sqrt[3]{- 8 + 8}}{3 \cdot 13 {(- 2)}^{2} \cdot - 2 + 14}$

Этап 12.1.4

Добавим $- 8$ и $8$ .

$\frac{\sqrt[3]{0}}{3 \cdot 13 {(- 2)}^{2} \cdot - 2 + 14}$

Этап 12.1.5

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$\frac{\sqrt[3]{0^{3}}}{3 \cdot 13 {(- 2)}^{2} \cdot - 2 + 14}$

Этап 12.1.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$\frac{0}{3 \cdot 13 {(- 2)}^{2} \cdot - 2 + 14}$

Этап 12.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Умножим ${(- 2)}^{2}$ на $- 2$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Перенесем $- 2$ .

$\frac{0}{3 \cdot 13 (- 2 {(- 2)}^{2}) + 14}$

Этап 12.2.1.2

Умножим $- 2$ на ${(- 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.2.1

Возведем $- 2$ в степень $1$ .

$\frac{0}{3 \cdot 13 ({(- 2)}^{1} {(- 2)}^{2}) + 14}$

Этап 12.2.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{0}{3 \cdot 13 {(- 2)}^{1 + 2} + 14}$

Этап 12.2.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{0}{3 \cdot 13 {(- 2)}^{3} + 14}$

Этап 12.2.2

Умножим $3$ на $13$ .

$\frac{0}{39 {(- 2)}^{3} + 14}$

Этап 12.2.3

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$\frac{0}{39 \cdot - 8 + 14}$

Этап 12.2.4

Умножим $39$ на $- 8$ .

$\frac{0}{- 312 + 14}$

Этап 12.2.5

Добавим $- 312$ и $14$ .

$\frac{0}{- 298}$

Этап 12.3

Разделим $0$ на $- 298$ .

$0$