Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 2} {(3 x - 8)}^{3} \cdot \frac{3 x}{5 x - 4}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$lim_{x \to 2} {(3 x - 8)}^{3} \cdot lim_{x \to 2} \frac{3 x}{5 x - 4}$

Этап 2

Вынесем степень $3$ в выражении ${(3 x - 8)}^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

${(lim_{x \to 2} 3 x - 8)}^{3} \cdot lim_{x \to 2} \frac{3 x}{5 x - 4}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

${(lim_{x \to 2} 3 x - lim_{x \to 2} 8)}^{3} \cdot lim_{x \to 2} \frac{3 x}{5 x - 4}$

Этап 4

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

${(3 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 8)}^{3} \cdot lim_{x \to 2} \frac{3 x}{5 x - 4}$

Этап 5

Найдем предел $8$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

${(3 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 8)}^{3} \cdot lim_{x \to 2} \frac{3 x}{5 x - 4}$

Этап 6

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

${(3 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 8)}^{3} \cdot 3 lim_{x \to 2} \frac{x}{5 x - 4}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $2$ .

${(3 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 8)}^{3} \cdot 3 \frac{lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} 5 x - 4}$

Этап 8

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

${(3 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 8)}^{3} \cdot 3 \frac{lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} 5 x - lim_{x \to 2} 4}$

Этап 9

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

${(3 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 8)}^{3} \cdot 3 \frac{lim_{x \to 2} x}{5 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 4}$

Этап 10

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

${(3 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 8)}^{3} \cdot 3 \frac{lim_{x \to 2} x}{5 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4}$

Этап 11

Найдем значения пределов, подставив значение $2$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

${(3 \cdot 2 - 1 \cdot 8)}^{3} \cdot 3 \frac{lim_{x \to 2} x}{5 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4}$

Этап 11.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

${(3 \cdot 2 - 1 \cdot 8)}^{3} \cdot 3 \frac{2}{5 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4}$

Этап 11.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

${(3 \cdot 2 - 1 \cdot 8)}^{3} \cdot 3 \frac{2}{5 \cdot 2 - 1 \cdot 4}$

Этап 12

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Умножим $3$ на $2$ .

${(6 - 1 \cdot 8)}^{3} \cdot 3 \frac{2}{5 \cdot 2 - 1 \cdot 4}$

Этап 12.1.2

Умножим $- 1$ на $8$ .

${(6 - 8)}^{3} \cdot 3 \frac{2}{5 \cdot 2 - 1 \cdot 4}$

Этап 12.2

Вычтем $8$ из $6$ .

${(- 2)}^{3} \cdot 3 \frac{2}{5 \cdot 2 - 1 \cdot 4}$

Этап 12.3

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$- 8 \cdot 3 \frac{2}{5 \cdot 2 - 1 \cdot 4}$

Этап 12.4

Умножим $- 8$ на $3$ .

$- 24 \frac{2}{5 \cdot 2 - 1 \cdot 4}$

Этап 12.5

Сократим общий множитель $2$ и $5 \cdot 2 - 1 \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1

Вынесем множитель $- 1$ из $5 \cdot 2$ .

$- 24 \frac{2}{- (- 5 \cdot 2) - 1 \cdot 4}$

Этап 12.5.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 \cdot 4$ .

$- 24 \frac{2}{- (- 5 \cdot 2) - 1 (4)}$

Этап 12.5.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (- 5 \cdot 2) - 1 (4)$ .

$- 24 \frac{2}{- (- 5 \cdot 2 + 4)}$

Этап 12.5.4

Перепишем $- (- 5 \cdot 2 + 4)$ в виде $- 1 (- 5 \cdot 2 + 4)$ .

$- 24 \frac{2}{- 1 (- 5 \cdot 2 + 4)}$

Этап 12.5.5

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- 24 \frac{2 \cdot 1}{- 1 (- 5 \cdot 2 + 4)}$

Этап 12.5.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.6.1

Вынесем множитель $2$ из $- 1 (- 5 \cdot 2 + 4)$ .

$- 24 \frac{2 \cdot 1}{2 (- 1 (- 5 + 2))}$

Этап 12.5.6.2

Сократим общий множитель.

$- 24 \frac{2 \cdot 1}{2 (- 1 (- 5 + 2))}$

Этап 12.5.6.3

Перепишем это выражение.

$- 24 \frac{1}{- 1 (- 5 + 2)}$

Этап 12.6

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.6.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$- 24 \frac{- 1 (- 1)}{- 1 (- 5 + 2)}$

Этап 12.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 24 (- \frac{1}{- 5 + 2})$

Этап 12.7

Добавим $- 5$ и $2$ .

$- 24 (- \frac{1}{- 3})$

Этап 12.8

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.8.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{- 3}$ в числитель.

$- 24 (\frac{- 1}{- 3})$

Этап 12.8.2

Вынесем множитель $3$ из $- 24$ .

$3 (- 8) \frac{- 1}{- 3}$

Этап 12.8.3

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$3 \cdot - 8 \frac{- 1}{3 \cdot - 1}$

Этап 12.8.4

Сократим общий множитель.

$3 \cdot - 8 \frac{- 1}{3 \cdot - 1}$

Этап 12.8.5

Перепишем это выражение.

$- 8 (\frac{- 1}{- 1})$

Этап 12.9

Объединим $- 8$ и $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{- 8 \cdot - 1}{- 1}$

Этап 12.10

Умножим $- 8$ на $- 1$ .

$\frac{8}{- 1}$

Этап 12.11

Разделим $8$ на $- 1$ .

$- 8$