Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 2} \frac{4 x^{2} - 16}{x^{2} - 4 x + 4}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 2} 4 x^{2} - 16}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4 x + 4}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} 4 x^{2} - lim_{x \to 2} 16}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4 x + 4}$

Этап 1.1.2.1.2

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 16}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4 x + 4}$

Этап 1.1.2.1.3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{4 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 16}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4 x + 4}$

Этап 1.1.2.1.4

Найдем предел $16$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4 x + 4}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{4 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4 x + 4}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{4 \cdot 4 - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4 x + 4}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{16 - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4 x + 4}$

Этап 1.1.2.3.1.3

Умножим $- 1$ на $16$ .

$\frac{16 - 16}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4 x + 4}$

Этап 1.1.2.3.2

Вычтем $16$ из $16$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4 x + 4}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 4 x + lim_{x \to 2} 4}$

Этап 1.1.3.2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 4 x + lim_{x \to 2} 4}$

Этап 1.1.3.3

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 4}$

Этап 1.1.3.4

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 2} x + 4}$

Этап 1.1.3.5

Найдем значения пределов, подставив значение $2$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{0}{2^{2} - 4 lim_{x \to 2} x + 4}$

Этап 1.1.3.5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{0}{2^{2} - 4 \cdot 2 + 4}$

Этап 1.1.3.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.6.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{0}{4 - 4 \cdot 2 + 4}$

Этап 1.1.3.6.1.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$\frac{0}{4 - 8 + 4}$

Этап 1.1.3.6.2

Вычтем $8$ из $4$ .

$\frac{0}{- 4 + 4}$

Этап 1.1.3.6.3

Добавим $- 4$ и $4$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.6.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.7

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 2} \frac{4 x^{2} - 16}{x^{2} - 4 x + 4} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 16]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 16]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $4 x^{2} - 16$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]}$

Этап 1.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]}$

Этап 1.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]}$

Этап 1.3.3.3

Умножим $2$ на $4$ .

$lim_{x \to 2} \frac{8 x + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $- 16$ является константой относительно $x$ , производная $- 16$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{8 x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]}$

Этап 1.3.5

Добавим $8 x$ и $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{8 x}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]}$

Этап 1.3.6

По правилу суммы производная $x^{2} - 4 x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{8 x}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]}$

Этап 1.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{8 x}{2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]}$

Этап 1.3.8

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{8 x}{2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]}$

Этап 1.3.8.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{8 x}{2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]}$

Этап 1.3.8.3

Умножим $- 4$ на $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{8 x}{2 x - 4 + \frac{d}{d x} [4]}$

Этап 1.3.9

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{8 x}{2 x - 4 + 0}$

Этап 1.3.10

Добавим $2 x - 4$ и $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{8 x}{2 x - 4}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $8$ и $2 x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $8 x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (4 x)}{2 x - 4}$

Этап 1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (4 x)}{2 (x) - 4}$

Этап 1.4.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (4 x)}{2 x + 2 \cdot - 2}$

Этап 1.4.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 2 \cdot - 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (4 x)}{2 (x - 2)}$

Этап 1.4.2.4

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 2} \frac{2 (4 x)}{2 (x - 2)}$

Этап 1.4.2.5

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 2} \frac{4 x}{x - 2}$

Этап 2

Поскольку эта функция стремится к $- \infty$ слева, а к $\infty$ справа, предел не существует.

$Не существует$