Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 2} 2 x^{5} - 2 x^{4} + 4 x^{3} + x^{2} - 5$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$lim_{x \to 2} 2 x^{5} - lim_{x \to 2} 2 x^{4} + lim_{x \to 2} 4 x^{3} + lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 5$

Этап 2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 lim_{x \to 2} x^{5} - lim_{x \to 2} 2 x^{4} + lim_{x \to 2} 4 x^{3} + lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 5$

Этап 3

Вынесем степень $5$ в выражении $x^{5}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$2 {(lim_{x \to 2} x)}^{5} - lim_{x \to 2} 2 x^{4} + lim_{x \to 2} 4 x^{3} + lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 5$

Этап 4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 {(lim_{x \to 2} x)}^{5} - 2 lim_{x \to 2} x^{4} + lim_{x \to 2} 4 x^{3} + lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 5$

Этап 5

Вынесем степень $4$ в выражении $x^{4}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$2 {(lim_{x \to 2} x)}^{5} - 2 {(lim_{x \to 2} x)}^{4} + lim_{x \to 2} 4 x^{3} + lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 5$

Этап 6

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 {(lim_{x \to 2} x)}^{5} - 2 {(lim_{x \to 2} x)}^{4} + 4 lim_{x \to 2} x^{3} + lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 5$

Этап 7

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$2 {(lim_{x \to 2} x)}^{5} - 2 {(lim_{x \to 2} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 5$

Этап 8

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$2 {(lim_{x \to 2} x)}^{5} - 2 {(lim_{x \to 2} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 5$

Этап 9

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$2 {(lim_{x \to 2} x)}^{5} - 2 {(lim_{x \to 2} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 5$

Этап 10

Найдем значения пределов, подставив значение $2$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$2 \cdot 2^{5} - 2 {(lim_{x \to 2} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 5$

Этап 10.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$2 \cdot 2^{5} - 2 \cdot 2^{4} + 4 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 5$

Этап 10.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$2 \cdot 2^{5} - 2 \cdot 2^{4} + 4 \cdot 2^{3} + {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 5$

Этап 10.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$2 \cdot 2^{5} - 2 \cdot 2^{4} + 4 \cdot 2^{3} + 2^{2} - 1 \cdot 5$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Умножим $2$ на $2^{5}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1.1

Умножим $2$ на $2^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1.1.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$2^{1} \cdot 2^{5} - 2 \cdot 2^{4} + 4 \cdot 2^{3} + 2^{2} - 1 \cdot 5$

Этап 11.1.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2^{1 + 5} - 2 \cdot 2^{4} + 4 \cdot 2^{3} + 2^{2} - 1 \cdot 5$

Этап 11.1.1.2

Добавим $1$ и $5$ .

$2^{6} - 2 \cdot 2^{4} + 4 \cdot 2^{3} + 2^{2} - 1 \cdot 5$

Этап 11.1.2

Возведем $2$ в степень $6$ .

$64 - 2 \cdot 2^{4} + 4 \cdot 2^{3} + 2^{2} - 1 \cdot 5$

Этап 11.1.3

Возведем $2$ в степень $4$ .

$64 - 2 \cdot 16 + 4 \cdot 2^{3} + 2^{2} - 1 \cdot 5$

Этап 11.1.4

Умножим $- 2$ на $16$ .

$64 - 32 + 4 \cdot 2^{3} + 2^{2} - 1 \cdot 5$

Этап 11.1.5

Возведем $2$ в степень $3$ .

$64 - 32 + 4 \cdot 8 + 2^{2} - 1 \cdot 5$

Этап 11.1.6

Умножим $4$ на $8$ .

$64 - 32 + 32 + 2^{2} - 1 \cdot 5$

Этап 11.1.7

Возведем $2$ в степень $2$ .

$64 - 32 + 32 + 4 - 1 \cdot 5$

Этап 11.1.8

Умножим $- 1$ на $5$ .

$64 - 32 + 32 + 4 - 5$

Этап 11.2

Вычтем $32$ из $64$ .

$32 + 32 + 4 - 5$

Этап 11.3

Добавим $32$ и $32$ .

$64 + 4 - 5$

Этап 11.4

Добавим $64$ и $4$ .

$68 - 5$

Этап 11.5

Вычтем $5$ из $68$ .

$63$