Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 2} 2 x^{4} - 3 x^{3} + 4 x - 1$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$lim_{x \to 2} 2 x^{4} - lim_{x \to 2} 3 x^{3} + lim_{x \to 2} 4 x - lim_{x \to 2} 1$

Этап 2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 lim_{x \to 2} x^{4} - lim_{x \to 2} 3 x^{3} + lim_{x \to 2} 4 x - lim_{x \to 2} 1$

Этап 3

Вынесем степень $4$ в выражении $x^{4}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$2 {(lim_{x \to 2} x)}^{4} - lim_{x \to 2} 3 x^{3} + lim_{x \to 2} 4 x - lim_{x \to 2} 1$

Этап 4

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 {(lim_{x \to 2} x)}^{4} - 3 lim_{x \to 2} x^{3} + lim_{x \to 2} 4 x - lim_{x \to 2} 1$

Этап 5

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$2 {(lim_{x \to 2} x)}^{4} - 3 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + lim_{x \to 2} 4 x - lim_{x \to 2} 1$

Этап 6

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 {(lim_{x \to 2} x)}^{4} - 3 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + 4 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 1$

Этап 7

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$2 {(lim_{x \to 2} x)}^{4} - 3 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + 4 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 1$

Этап 8

Найдем значения пределов, подставив значение $2$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$2 \cdot 2^{4} - 3 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + 4 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 1$

Этап 8.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$2 \cdot 2^{4} - 3 \cdot 2^{3} + 4 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 1$

Этап 8.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$2 \cdot 2^{4} - 3 \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2 - 1 \cdot 1$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Умножим $2$ на $2^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

Умножим $2$ на $2^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$2^{1} \cdot 2^{4} - 3 \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2 - 1 \cdot 1$

Этап 9.1.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2^{1 + 4} - 3 \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2 - 1 \cdot 1$

Этап 9.1.1.2

Добавим $1$ и $4$ .

$2^{5} - 3 \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2 - 1 \cdot 1$

Этап 9.1.2

Возведем $2$ в степень $5$ .

$32 - 3 \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2 - 1 \cdot 1$

Этап 9.1.3

Возведем $2$ в степень $3$ .

$32 - 3 \cdot 8 + 4 \cdot 2 - 1 \cdot 1$

Этап 9.1.4

Умножим $- 3$ на $8$ .

$32 - 24 + 4 \cdot 2 - 1 \cdot 1$

Этап 9.1.5

Умножим $4$ на $2$ .

$32 - 24 + 8 - 1 \cdot 1$

Этап 9.1.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$32 - 24 + 8 - 1$

Этап 9.2

Вычтем $24$ из $32$ .

$8 + 8 - 1$

Этап 9.3

Добавим $8$ и $8$ .

$16 - 1$

Этап 9.4

Вычтем $1$ из $16$ .

$15$