Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 4} \frac{x^{2} + 2 x - 24}{x^{2} - 16}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 4} x^{2} + 2 x - 24}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} x^{2} + lim_{x \to 4} 2 x - lim_{x \to 4} 24}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

Этап 1.1.2.2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + lim_{x \to 4} 2 x - lim_{x \to 4} 24}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

Этап 1.1.2.3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 24}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

Этап 1.1.2.4

Найдем предел $24$ , который является константой по мере приближения $x$ к $4$ .

$\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 24}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

Этап 1.1.2.5

Найдем значения пределов, подставив значение $4$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$\frac{4^{2} + 2 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 24}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

Этап 1.1.2.5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$\frac{4^{2} + 2 \cdot 4 - 1 \cdot 24}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

Этап 1.1.2.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{16 + 2 \cdot 4 - 1 \cdot 24}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

Этап 1.1.2.6.1.2

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{16 + 8 - 1 \cdot 24}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

Этап 1.1.2.6.1.3

Умножим $- 1$ на $24$ .

$\frac{16 + 8 - 24}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

Этап 1.1.2.6.2

Добавим $16$ и $8$ .

$\frac{24 - 24}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

Этап 1.1.2.6.3

Вычтем $24$ из $24$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x^{2} - lim_{x \to 4} 16}$

Этап 1.1.3.1.2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} 16}$

Этап 1.1.3.1.3

Найдем предел $16$ , который является константой по мере приближения $x$ к $4$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 1 \cdot 16}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$\frac{0}{4^{2} - 1 \cdot 16}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{0}{16 - 1 \cdot 16}$

Этап 1.1.3.3.1.2

Умножим $- 1$ на $16$ .

$\frac{0}{16 - 16}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $16$ из $16$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 4} \frac{x^{2} + 2 x - 24}{x^{2} - 16} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 24]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 24]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 2 x - 24$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 24]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 24]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 24]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 24]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Этап 1.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 24]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Этап 1.3.4.3

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 24]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Этап 1.3.5

Поскольку $- 24$ является константой относительно $x$ , производная $- 24$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x + 2 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Этап 1.3.6

Добавим $2 x + 2$ и $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x + 2}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Этап 1.3.7

По правилу суммы производная $x^{2} - 16$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x + 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]}$

Этап 1.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x + 2}{2 x + \frac{d}{d x} [- 16]}$

Этап 1.3.9

Поскольку $- 16$ является константой относительно $x$ , производная $- 16$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x + 2}{2 x + 0}$

Этап 1.3.10

Добавим $2 x$ и $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x + 2}{2 x}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $2 x + 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 (x) + 2}{2 x}$

Этап 1.4.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 (x) + 2 \cdot 1}{2 x}$

Этап 1.4.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (x) + 2 (1)$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 (x + 1)}{2 x}$

Этап 1.4.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 (x + 1)}{2 (x)}$

Этап 1.4.4.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 4} \frac{2 (x + 1)}{2 x}$

Этап 1.4.4.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 4} \frac{x + 1}{x}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} x + 1}{lim_{x \to 4} x}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 1}{lim_{x \to 4} x}$

Этап 2.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} x + 1}{lim_{x \to 4} x}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $4$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$\frac{4 + 1}{lim_{x \to 4} x}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$\frac{4 + 1}{4}$

Этап 4

Добавим $4$ и $1$ .

$\frac{5}{4}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{5}{4}$

Десятичная форма:

$1.25$