Математический анализ Примеры

$y = 3 x + 3$ , $y = x^{2} + 3$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$3 x + 3 = x^{2} + 3$

Этап 1.2

Решим $3 x + 3 = x^{2} + 3$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$3 x + 3 - x^{2} = 3$

Этап 1.2.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$3 x + 3 - x^{2} - 3 = 0$

Этап 1.2.3

Объединим противоположные члены в $3 x + 3 - x^{2} - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Вычтем $3$ из $3$ .

$3 x - x^{2} + 0 = 0$

Этап 1.2.3.2

Добавим $3 x - x^{2}$ и $0$ .

$3 x - x^{2} = 0$

Этап 1.2.4

Вынесем множитель $x$ из $3 x - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Вынесем множитель $x$ из $3 x$ .

$x \cdot 3 - x^{2} = 0$

Этап 1.2.4.2

Вынесем множитель $x$ из $- x^{2}$ .

$x \cdot 3 + x (- x) = 0$

Этап 1.2.4.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot 3 + x (- x)$ .

$x (3 - x) = 0$

Этап 1.2.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$3 - x = 0 + y = x^{2} + 3$

Этап 1.2.6

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 1.2.7

Приравняем $3 - x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Приравняем $3 - x$ к $0$ .

$3 - x = 0$

Этап 1.2.7.2

Решим $3 - x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 3$

Этап 1.2.7.2.2

Разделим каждый член $- x = - 3$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 3$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Этап 1.2.7.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Этап 1.2.7.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Этап 1.2.7.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.2.3.1

Разделим $- 3$ на $- 1$ .

$x = 3$

Этап 1.2.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (3 - x) = 0$ верно.

$x = 0, 3$

Этап 1.3

Вычислим $y$ , когда $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$y = {(0)}^{2} + 3$

Этап 1.3.2

Подставим $0$ вместо $x$ в $y = {(0)}^{2} + 3$ и решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 0^{2} + 3$

Этап 1.3.2.2

Упростим $0^{2} + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0 + 3$

Этап 1.3.2.2.2

Добавим $0$ и $3$ .

$y = 3$

Этап 1.4

Вычислим $y$ , когда $x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Подставим $3$ вместо $x$ .

$y = {(3)}^{2} + 3$

Этап 1.4.2

Подставим $3$ вместо $x$ в $y = {(3)}^{2} + 3$ и решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 3^{2} + 3$

Этап 1.4.2.2

Упростим $3^{2} + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$y = 9 + 3$

Этап 1.4.2.2.2

Добавим $9$ и $3$ .

$y = 12$

Этап 1.5

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(0, 3)$

$(3, 12)$

$(0, 3)$

$(3, 12)$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{0}^{3} 3 x + 3 d x - \int_{0}^{3} x^{2} + 3 d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{0}^{3} 3 x + 3 - (x^{2} + 3) d x$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x + 3 - x^{2} - 1 \cdot 3$

Этап 3.2.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$3 x + 3 - x^{2} - 3$

$\int_{0}^{3} 3 x + 3 - x^{2} - 3 d x$

Этап 3.3

Объединим противоположные члены в $3 x + 3 - x^{2} - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вычтем $3$ из $3$ .

$3 x - x^{2} + 0$

Этап 3.3.2

Добавим $3 x - x^{2}$ и $0$ .

$3 x - x^{2}$

$\int_{0}^{3} 3 x - x^{2} d x$

Этап 3.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{3} 3 x d x + \int_{0}^{3} - x^{2} d x$

Этап 3.5

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int_{0}^{3} x d x + \int_{0}^{3} - x^{2} d x$

Этап 3.6

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - x^{2} d x$

Этап 3.7

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - x^{2} d x$

Этап 3.8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) - \int_{0}^{3} x^{2} d x$

Этап 3.9

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) - (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{3})$

Этап 3.10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3})$

Этап 3.10.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.1

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $3$ и в $0$ .

$3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3})$

Этап 3.10.2.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $3$ и в $0$ .

$3 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.3.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$3 (\frac{9}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.3.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$3 (\frac{9}{2} - \frac{0}{2}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.3.3

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$3 (\frac{9}{2} - \frac{2 (0)}{2}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$3 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$3 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$3 (\frac{9}{2} - \frac{0}{1}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.3.3.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$3 (\frac{9}{2} - 0) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.3.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$3 (\frac{9}{2} + 0) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.3.5

Добавим $\frac{9}{2}$ и $0$ .

$3 (\frac{9}{2}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.3.6

Объединим $3$ и $\frac{9}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 9}{2} - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.3.7

Умножим $3$ на $9$ .

$\frac{27}{2} - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.3.8

Возведем $3$ в степень $3$ .

$\frac{27}{2} - (\frac{27}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.3.9

Сократим общий множитель $27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.3.9.1

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$\frac{27}{2} - (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.3.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.3.9.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{27}{2} - (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.3.9.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{27}{2} - (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.3.9.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{27}{2} - (\frac{9}{1} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.3.9.2.4

Разделим $9$ на $1$ .

$\frac{27}{2} - (9 - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.3.10

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{27}{2} - (9 - \frac{0}{3})$

Этап 3.10.2.3.11

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.3.11.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$\frac{27}{2} - (9 - \frac{3 (0)}{3})$

Этап 3.10.2.3.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.3.11.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{27}{2} - (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Этап 3.10.2.3.11.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{27}{2} - (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Этап 3.10.2.3.11.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{27}{2} - (9 - \frac{0}{1})$

Этап 3.10.2.3.11.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{27}{2} - (9 - 0)$

Этап 3.10.2.3.12

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{27}{2} - (9 + 0)$

Этап 3.10.2.3.13

Добавим $9$ и $0$ .

$\frac{27}{2} - 1 \cdot 9$

Этап 3.10.2.3.14

Умножим $- 1$ на $9$ .

$\frac{27}{2} - 9$

Этап 3.10.2.3.15

Чтобы записать $- 9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{27}{2} - 9 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 3.10.2.3.16

Объединим $- 9$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{27}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2}$

Этап 3.10.2.3.17

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{27 - 9 \cdot 2}{2}$

Этап 3.10.2.3.18

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.3.18.1

Умножим $- 9$ на $2$ .

$\frac{27 - 18}{2}$

Этап 3.10.2.3.18.2

Вычтем $18$ из $27$ .

$\frac{9}{2}$

Этап 4