Математический анализ Примеры

$y = 3 x + 2 x^{2} - x^{3}$ , $y = 0$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$3 x + 2 x^{2} - x^{3} = 0$

Этап 1.2

Решим $3 x + 2 x^{2} - x^{3} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$3 u + 2 u^{2} - u^{3} = 0$

Этап 1.2.1.2

Вынесем множитель $u$ из $3 u + 2 u^{2} - u^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.2.1

Вынесем множитель $u$ из $3 u$ .

$u \cdot 3 + 2 u^{2} - u^{3} = 0$

Этап 1.2.1.2.2

Вынесем множитель $u$ из $2 u^{2}$ .

$u \cdot 3 + u (2 u) - u^{3} = 0$

Этап 1.2.1.2.3

Вынесем множитель $u$ из $- u^{3}$ .

$u \cdot 3 + u (2 u) + u (- u^{2}) = 0$

Этап 1.2.1.2.4

Вынесем множитель $u$ из $u \cdot 3 + u (2 u)$ .

$u \cdot (3 + 2 u) + u (- u^{2}) = 0$

Этап 1.2.1.2.5

Вынесем множитель $u$ из $u \cdot (3 + 2 u) + u (- u^{2})$ .

$u (3 + 2 u - u^{2}) = 0$

Этап 1.2.1.3

Запишем $3$ как $4$ плюс $- 1$

$u (4 - 1 + 2 u - u^{2}) = 0$

Этап 1.2.1.4

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.4.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$u (4 - (1^{2} - 2 u + u^{2})) = 0$

Этап 1.2.1.4.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 u = 2 \cdot 1 \cdot u$

Этап 1.2.1.4.3

Перепишем многочлен.

$u (4 - (1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot u + u^{2})) = 0$

Этап 1.2.1.4.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = 1$ и $b = u$ .

$u (4 - {(1 - u)}^{2}) = 0$

Этап 1.2.1.5

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$u (2^{2} - {(1 - u)}^{2}) = 0$

Этап 1.2.1.6

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 2$ и $b = 1 - u$ .

$u ((2 + 1 - u) (2 - (1 - u))) = 0$

Этап 1.2.1.7

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.7.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.7.1.1

Избавимся от ненужных скобок.

$u ((2 + 1 - u) (2 - (1 - u))) = 0$

Этап 1.2.1.7.1.2

Добавим $2$ и $1$ .

$u ((3 - u) (2 - (1 - u))) = 0$

Этап 1.2.1.7.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$u ((3 - u) (2 - 1 \cdot 1 + u)) = 0$

Этап 1.2.1.7.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$u ((3 - u) (2 - 1 + u)) = 0$

Этап 1.2.1.7.1.5

Умножим $- - u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.7.1.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$u ((3 - u) (2 - 1 + 1 u)) = 0$

Этап 1.2.1.7.1.5.2

Умножим $u$ на $1$ .

$u ((3 - u) (2 - 1 + u)) = 0$

Этап 1.2.1.7.1.6

Вычтем $1$ из $2$ .

$u ((3 - u) (1 + u)) = 0$

Этап 1.2.1.7.2

Избавимся от ненужных скобок.

$u (3 - u) (1 + u) = 0$

Этап 1.2.1.8

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$x (3 - x) (1 + x) = 0$

Этап 1.2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$3 - x = 0$

$1 + x = 0 + y = 0$

Этап 1.2.3

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 1.2.4

Приравняем $3 - x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Приравняем $3 - x$ к $0$ .

$3 - x = 0$

Этап 1.2.4.2

Решим $3 - x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 3$

Этап 1.2.4.2.2

Разделим каждый член $- x = - 3$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 3$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Этап 1.2.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Этап 1.2.4.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Этап 1.2.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.2.3.1

Разделим $- 3$ на $- 1$ .

$x = 3$

Этап 1.2.5

Приравняем $1 + x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем $1 + x$ к $0$ .

$1 + x = 0$

Этап 1.2.5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 1.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (3 - x) (1 + x) = 0$ верно.

$x = 0, 3, - 1$

Этап 1.3

Подставим $0$ вместо $x$ .

$y = 0$

Этап 1.4

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(0, 0)$

$(3, 0)$

$(- 1, 0)$

$(0, 0)$

$(3, 0)$

$(- 1, 0)$

Этап 2

Упростим $3 x + 2 x^{2} - x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перенесем $3 x$ .

$y = 2 x^{2} - x^{3} + 3 x$

Этап 2.2

Изменим порядок $2 x^{2}$ и $- x^{3}$ .

$y = - x^{3} + 2 x^{2} + 3 x$

Этап 3

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{- 1}^{0} 0 d x - \int_{- 1}^{0} - x^{3} + 2 x^{2} + 3 x d x$

Этап 4

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $- 1$ и $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{- 1}^{0} 0 - (- x^{3} + 2 x^{2} + 3 x) d x$

Этап 4.2

Вычтем $- x^{3} + 2 x^{2} + 3 x$ из $0$ .

$\int_{- 1}^{0} - (- x^{3} + 2 x^{2} + 3 x) d x$

Этап 4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{- 1}^{0} x^{3} - (2 x^{2}) - (3 x) d x$

Этап 4.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Умножим $- - x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 x^{3} - (2 x^{2}) - (3 x)$

Этап 4.4.1.2

Умножим $x^{3}$ на $1$ .

$x^{3} - (2 x^{2}) - (3 x)$

Этап 4.4.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x^{3} - 2 x^{2} - (3 x)$

Этап 4.4.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$x^{3} - 2 x^{2} - 3 x$

$\int_{- 1}^{0} x^{3} - 2 x^{2} - 3 x d x$

Этап 4.5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 1}^{0} x^{3} d x + \int_{- 1}^{0} - 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{0} - 3 x d x$

Этап 4.6

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 1}^{0} + \int_{- 1}^{0} - 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{0} - 3 x d x$

Этап 4.7

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 1}^{0} - 2 \int_{- 1}^{0} x^{2} d x + \int_{- 1}^{0} - 3 x d x$

Этап 4.8

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 1}^{0} - 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{0}) + \int_{- 1}^{0} - 3 x d x$

Этап 4.9

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 1}^{0} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{0}) + \int_{- 1}^{0} - 3 x d x$

Этап 4.10

Поскольку $- 3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 3$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 1}^{0} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{0}) - 3 \int_{- 1}^{0} x d x$

Этап 4.11

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 1}^{0} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{0}) - 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{0})$

Этап 4.12

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 1}^{0} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{0}) - 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0})$

Этап 4.12.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.2.1

Найдем значение $\frac{1}{4} x^{4}$ в $0$ и в $- 1$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 1)}^{4} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{0}) - 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0})$

Этап 4.12.2.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $0$ и в $- 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 1)}^{4} - 2 (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0})$

Этап 4.12.2.3

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $0$ и в $- 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 1)}^{4} - 2 (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 4.12.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.2.4.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{4} {(- 1)}^{4} - 2 (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 4.12.2.4.2

Умножим $\frac{1}{4}$ на $0$ .

$0 - \frac{1}{4} {(- 1)}^{4} - 2 (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 4.12.2.4.3

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$0 - \frac{1}{4} \cdot 1 - 2 (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 4.12.2.4.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 - \frac{1}{4} - 2 (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 4.12.2.4.5

Вычтем $\frac{1}{4}$ из $0$ .

$- \frac{1}{4} - 2 (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 4.12.2.4.6

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{1}{4} - 2 (\frac{0}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 4.12.2.4.7

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.2.4.7.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$- \frac{1}{4} - 2 (\frac{3 (0)}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 4.12.2.4.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.2.4.7.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- \frac{1}{4} - 2 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 4.12.2.4.7.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{4} - 2 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 4.12.2.4.7.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{4} - 2 (\frac{0}{1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 4.12.2.4.7.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- \frac{1}{4} - 2 (0 - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 4.12.2.4.8

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$- \frac{1}{4} - 2 (0 - \frac{- 1}{3}) - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 4.12.2.4.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{4} - 2 (0 - - \frac{1}{3}) - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 4.12.2.4.10

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{1}{4} - 2 (0 + 1 (\frac{1}{3})) - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 4.12.2.4.11

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$- \frac{1}{4} - 2 (0 + \frac{1}{3}) - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 4.12.2.4.12

Добавим $0$ и $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{4} - 2 (\frac{1}{3}) - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 4.12.2.4.13

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{4} + \frac{- 2}{3} - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 4.12.2.4.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{4} - \frac{2}{3} - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 4.12.2.4.15

Чтобы записать $- \frac{1}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3} - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 4.12.2.4.16

Чтобы записать $- \frac{2}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{4} - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 4.12.2.4.17

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $12$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.2.4.17.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{3}{4 \cdot 3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{4} - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 4.12.2.4.17.2

Умножим $4$ на $3$ .

$- \frac{3}{12} - \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{4} - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 4.12.2.4.17.3

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{3}{12} - \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 4.12.2.4.17.4

Умножим $3$ на $4$ .

$- \frac{3}{12} - \frac{2 \cdot 4}{12} - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 4.12.2.4.18

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 3 - 2 \cdot 4}{12} - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 4.12.2.4.19

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.2.4.19.1

Умножим $- 2$ на $4$ .

$\frac{- 3 - 8}{12} - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 4.12.2.4.19.2

Вычтем $8$ из $- 3$ .

$\frac{- 11}{12} - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 4.12.2.4.20

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{11}{12} - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 4.12.2.4.21

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{11}{12} - 3 (\frac{0}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 4.12.2.4.22

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.2.4.22.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$- \frac{11}{12} - 3 (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 4.12.2.4.22.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.2.4.22.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{11}{12} - 3 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 4.12.2.4.22.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{11}{12} - 3 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 4.12.2.4.22.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{11}{12} - 3 (\frac{0}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 4.12.2.4.22.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- \frac{11}{12} - 3 (0 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 4.12.2.4.23

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- \frac{11}{12} - 3 (0 - \frac{1}{2})$

Этап 4.12.2.4.24

Вычтем $\frac{1}{2}$ из $0$ .

$- \frac{11}{12} - 3 (- \frac{1}{2})$

Этап 4.12.2.4.25

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$- \frac{11}{12} + 3 (\frac{1}{2})$

Этап 4.12.2.4.26

Объединим $3$ и $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{11}{12} + \frac{3}{2}$

Этап 4.12.2.4.27

Чтобы записать $\frac{3}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$- \frac{11}{12} + \frac{3}{2} \cdot \frac{6}{6}$

Этап 4.12.2.4.28

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $12$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.2.4.28.1

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{6}{6}$ .

$- \frac{11}{12} + \frac{3 \cdot 6}{2 \cdot 6}$

Этап 4.12.2.4.28.2

Умножим $2$ на $6$ .

$- \frac{11}{12} + \frac{3 \cdot 6}{12}$

Этап 4.12.2.4.29

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 11 + 3 \cdot 6}{12}$

Этап 4.12.2.4.30

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.2.4.30.1

Умножим $3$ на $6$ .

$\frac{- 11 + 18}{12}$

Этап 4.12.2.4.30.2

Добавим $- 11$ и $18$ .

$\frac{7}{12}$

Этап 5

$A r e a = \int_{0}^{3} - x^{3} + 2 x^{2} + 3 x d x - \int_{0}^{3} 0 d x$

Этап 6

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{0}^{3} - x^{3} + 2 x^{2} + 3 x - (0) d x$

Этап 6.2

Вычтем $0$ из $- x^{3} + 2 x^{2} + 3 x$ .

$\int_{0}^{3} - x^{3} + 2 x^{2} + 3 x d x$

Этап 6.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{3} - x^{3} d x + \int_{0}^{3} 2 x^{2} d x + \int_{0}^{3} 3 x d x$

Этап 6.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{0}^{3} x^{3} d x + \int_{0}^{3} 2 x^{2} d x + \int_{0}^{3} 3 x d x$

Этап 6.5

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 2 x^{2} d x + \int_{0}^{3} 3 x d x$

Этап 6.6

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 2 x^{2} d x + \int_{0}^{3} 3 x d x$

Этап 6.7

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) + 2 \int_{0}^{3} x^{2} d x + \int_{0}^{3} 3 x d x$

Этап 6.8

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) + 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 3 x d x$

Этап 6.9

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 3 x d x$

Этап 6.10

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + 3 \int_{0}^{3} x d x$

Этап 6.11

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{3})$

Этап 6.12

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.12.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3})$

Этап 6.12.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.12.2.1

Найдем значение $\frac{x^{4}}{4}$ в $3$ и в $0$ .

$- ((\frac{3^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}) + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3})$

Этап 6.12.2.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $3$ и в $0$ .

$- (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3})$

Этап 6.12.2.3

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $3$ и в $0$ .

$- (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.12.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.12.2.4.1

Возведем $3$ в степень $4$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.12.2.4.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{0}{4}) + 2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.12.2.4.3

Сократим общий множитель $0$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.12.2.4.3.1

Вынесем множитель $4$ из $0$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{4 (0)}{4}) + 2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.12.2.4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.12.2.4.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.12.2.4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$- (\frac{81}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.12.2.4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$- (\frac{81}{4} - \frac{0}{1}) + 2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.12.2.4.3.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- (\frac{81}{4} - 0) + 2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.12.2.4.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- (\frac{81}{4} + 0) + 2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.12.2.4.5

Добавим $\frac{81}{4}$ и $0$ .

$- \frac{81}{4} + 2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.12.2.4.6

Возведем $3$ в степень $3$ .

$- \frac{81}{4} + 2 (\frac{27}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.12.2.4.7

Сократим общий множитель $27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.12.2.4.7.1

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$- \frac{81}{4} + 2 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.12.2.4.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.12.2.4.7.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- \frac{81}{4} + 2 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.12.2.4.7.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{81}{4} + 2 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.12.2.4.7.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{81}{4} + 2 (\frac{9}{1} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.12.2.4.7.2.4

Разделим $9$ на $1$ .

$- \frac{81}{4} + 2 (9 - \frac{0^{3}}{3}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.12.2.4.8

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{81}{4} + 2 (9 - \frac{0}{3}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.12.2.4.9

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.12.2.4.9.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$- \frac{81}{4} + 2 (9 - \frac{3 (0)}{3}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.12.2.4.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.12.2.4.9.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- \frac{81}{4} + 2 (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.12.2.4.9.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{81}{4} + 2 (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.12.2.4.9.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{81}{4} + 2 (9 - \frac{0}{1}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.12.2.4.9.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- \frac{81}{4} + 2 (9 - 0) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.12.2.4.10

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- \frac{81}{4} + 2 (9 + 0) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.12.2.4.11

Добавим $9$ и $0$ .

$- \frac{81}{4} + 2 \cdot 9 + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.12.2.4.12

Умножим $2$ на $9$ .

$- \frac{81}{4} + 18 + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.12.2.4.13

Чтобы записать $18$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{81}{4} + 18 \cdot \frac{4}{4} + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.12.2.4.14

Объединим $18$ и $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{81}{4} + \frac{18 \cdot 4}{4} + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.12.2.4.15

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 81 + 18 \cdot 4}{4} + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.12.2.4.16

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.12.2.4.16.1

Умножим $18$ на $4$ .

$\frac{- 81 + 72}{4} + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.12.2.4.16.2

Добавим $- 81$ и $72$ .

$\frac{- 9}{4} + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.12.2.4.17

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{9}{4} + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.12.2.4.18

Возведем $3$ в степень $2$ .

$- \frac{9}{4} + 3 (\frac{9}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.12.2.4.19

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{9}{4} + 3 (\frac{9}{2} - \frac{0}{2})$

Этап 6.12.2.4.20

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.12.2.4.20.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$- \frac{9}{4} + 3 (\frac{9}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Этап 6.12.2.4.20.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.12.2.4.20.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{9}{4} + 3 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 6.12.2.4.20.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{9}{4} + 3 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 6.12.2.4.20.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{9}{4} + 3 (\frac{9}{2} - \frac{0}{1})$

Этап 6.12.2.4.20.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- \frac{9}{4} + 3 (\frac{9}{2} - 0)$

Этап 6.12.2.4.21

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- \frac{9}{4} + 3 (\frac{9}{2} + 0)$

Этап 6.12.2.4.22

Добавим $\frac{9}{2}$ и $0$ .

$- \frac{9}{4} + 3 (\frac{9}{2})$

Этап 6.12.2.4.23

Объединим $3$ и $\frac{9}{2}$ .

$- \frac{9}{4} + \frac{3 \cdot 9}{2}$

Этап 6.12.2.4.24

Умножим $3$ на $9$ .

$- \frac{9}{4} + \frac{27}{2}$

Этап 6.12.2.4.25

Чтобы записать $\frac{27}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{9}{4} + \frac{27}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 6.12.2.4.26

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.12.2.4.26.1

Умножим $\frac{27}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{9}{4} + \frac{27 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Этап 6.12.2.4.26.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{9}{4} + \frac{27 \cdot 2}{4}$

Этап 6.12.2.4.27

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 9 + 27 \cdot 2}{4}$

Этап 6.12.2.4.28

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.12.2.4.28.1

Умножим $27$ на $2$ .

$\frac{- 9 + 54}{4}$

Этап 6.12.2.4.28.2

Добавим $- 9$ и $54$ .

$\frac{45}{4}$

Этап 7

Сложим площади $\frac{7}{12} + \frac{45}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Чтобы записать $\frac{45}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7}{12} + \frac{45}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 7.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $12$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $\frac{45}{4}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7}{12} + \frac{45 \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Этап 7.2.2

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{7}{12} + \frac{45 \cdot 3}{12}$

Этап 7.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{7 + 45 \cdot 3}{12}$

Этап 7.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Умножим $45$ на $3$ .

$\frac{7 + 135}{12}$

Этап 7.4.2

Добавим $7$ и $135$ .

$\frac{142}{12}$

Этап 7.5

Сократим общий множитель $142$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Вынесем множитель $2$ из $142$ .

$\frac{2 (71)}{12}$

Этап 7.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$\frac{2 \cdot 71}{2 \cdot 6}$

Этап 7.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 71}{2 \cdot 6}$

Этап 7.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{71}{6}$

Этап 8