Математический анализ Примеры

$y = 3 x$ , $y = 0$ , $x = 2$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$3 x = 0$

Этап 1.2

Разделим каждый член $3 x = 0$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разделим каждый член $3 x = 0$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 1.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{3}$

Этап 1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Разделим $0$ на $3$ .

$x = 0$

Этап 1.3

Подставим $0$ вместо $x$ .

$y = 0$

Этап 1.4

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(0, 0)$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{0}^{2} 3 x d x - \int_{0}^{2} 0 d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{0}^{2} 3 x - (0) d x$

Этап 3.2

Вычтем $0$ из $3 x$ .

$\int_{0}^{2} 3 x d x$

Этап 3.3

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int_{0}^{2} x d x$

Этап 3.4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2})$

Этап 3.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2})$

Этап 3.5.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $2$ и в $0$ .

$3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.5.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$3 (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.5.2.2.2

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$3 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.5.2.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$3 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.5.2.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$3 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.5.2.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$3 (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.5.2.2.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$3 (2 - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.5.2.2.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$3 (2 - \frac{0}{2})$

Этап 3.5.2.2.4

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.4.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$3 (2 - \frac{2 (0)}{2})$

Этап 3.5.2.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$3 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 3.5.2.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$3 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 3.5.2.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$3 (2 - \frac{0}{1})$

Этап 3.5.2.2.4.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$3 (2 - 0)$

Этап 3.5.2.2.5

Умножим $- 1$ на $0$ .

$3 (2 + 0)$

Этап 3.5.2.2.6

Добавим $2$ и $0$ .

$3 \cdot 2$

Этап 3.5.2.2.7

Умножим $3$ на $2$ .

$6$

Этап 4