Математический анализ Примеры

$y = 5 x^{3}$ , $x = 1$ , $x = 3$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$5 x^{3} = 0$

Этап 1.2

Решим $5 x^{3} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разделим каждый член $5 x^{3} = 0$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Разделим каждый член $5 x^{3} = 0$ на $5$ .

$\frac{5 x^{3}}{5} = \frac{0}{5}$

Этап 1.2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x^{3}}{5} = \frac{0}{5}$

Этап 1.2.1.2.1.2

Разделим $x^{3}$ на $1$ .

$x^{3} = \frac{0}{5}$

Этап 1.2.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.3.1

Разделим $0$ на $5$ .

$x^{3} = 0$

Этап 1.2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \sqrt[3]{0}$

Этап 1.2.3

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 1.2.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$x = 0$

Этап 1.3

Подставим $0$ вместо $x$ .

$y = 0$

Этап 1.4

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(0, 0)$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{1}^{3} 5 x^{3} d x - \int_{1}^{3} 0 d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $1$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{1}^{3} 5 x^{3} - (0) d x$

Этап 3.2

Вычтем $0$ из $5 x^{3}$ .

$\int_{1}^{3} 5 x^{3} d x$

Этап 3.3

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$5 \int_{1}^{3} x^{3} d x$

Этап 3.4

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$5 (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3})$

Этап 3.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$5 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{3})$

Этап 3.5.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Найдем значение $\frac{x^{4}}{4}$ в $3$ и в $1$ .

$5 ((\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 3.5.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Возведем $3$ в степень $4$ .

$5 (\frac{81}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 3.5.2.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$5 (\frac{81}{4} - \frac{1}{4})$

Этап 3.5.2.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$5 \frac{81 - 1}{4}$

Этап 3.5.2.2.4

Вычтем $1$ из $81$ .

$5 (\frac{80}{4})$

Этап 3.5.2.2.5

Сократим общий множитель $80$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.5.1

Вынесем множитель $4$ из $80$ .

$5 \frac{4 \cdot 20}{4}$

Этап 3.5.2.2.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.5.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$5 \frac{4 \cdot 20}{4 (1)}$

Этап 3.5.2.2.5.2.2

Сократим общий множитель.

$5 \frac{4 \cdot 20}{4 \cdot 1}$

Этап 3.5.2.2.5.2.3

Перепишем это выражение.

$5 (\frac{20}{1})$

Этап 3.5.2.2.5.2.4

Разделим $20$ на $1$ .

$5 \cdot 20$

Этап 3.5.2.2.6

Умножим $5$ на $20$ .

$100$

Этап 4