Математический анализ Примеры

$y = - 4 \sin (x)$ , $y = \sin (2 x)$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$- 4 \sin (x) = \sin (2 x)$

Этап 1.2

Решим $- 4 \sin (x) = \sin (2 x)$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $\sin (2 x)$ из обеих частей уравнения.

$- 4 \sin (x) - \sin (2 x) = 0$

Этап 1.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Применим формулу двойного угла для синуса.

$- 4 \sin (x) - (2 \sin (x) \cos (x)) = 0$

Этап 1.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 4 \sin (x) - 2 \sin (x) \cos (x) = 0$

Этап 1.2.3

Разложим $- 4 \sin (x) - 2 \sin (x) \cos (x)$ на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Вынесем множитель $2 \sin (x)$ из $- 4 \sin (x) - 2 \sin (x) \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Вынесем множитель $2 \sin (x)$ из $- 4 \sin (x)$ .

$2 \sin (x) \cdot - 2 - 2 \sin (x) \cos (x) = 0$

Этап 1.2.3.1.2

Вынесем множитель $2 \sin (x)$ из $- 2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cdot - 2 + 2 \sin (x) (- 1 \cos (x)) = 0$

Этап 1.2.3.1.3

Вынесем множитель $2 \sin (x)$ из $2 \sin (x) \cdot - 2 + 2 \sin (x) (- 1 \cos (x))$ .

$2 \sin (x) (- 2 - 1 \cos (x)) = 0$

Этап 1.2.3.2

Перепишем $- 1 \cos (x)$ в виде $- \cos (x)$ .

$2 \sin (x) (- 2 - \cos (x)) = 0$

Этап 1.2.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sin (x) = 0$

$- 2 - \cos (x) = 0 + y = \sin (2 x)$

Этап 1.2.5

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ .

$\sin (x) = 0$

Этап 1.2.5.2

Решим $\sin (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (0)$

Этап 1.2.5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.2.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 1.2.5.2.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - 0$

Этап 1.2.5.2.4

Вычтем $0$ из $π$ .

$x = π$

Этап 1.2.5.2.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 1.2.5.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 1.2.5.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 1.2.5.2.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 1.2.5.2.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 1.2.6

Приравняем $- 2 - \cos (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Приравняем $- 2 - \cos (x)$ к $0$ .

$- 2 - \cos (x) = 0$

Этап 1.2.6.2

Решим $- 2 - \cos (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$- \cos (x) = 2$

Этап 1.2.6.2.2

Разделим каждый член $- \cos (x) = 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.2.1

Разделим каждый член $- \cos (x) = 2$ на $- 1$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{2}{- 1}$

Этап 1.2.6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{2}{- 1}$

Этап 1.2.6.2.2.2.2

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$\cos (x) = \frac{2}{- 1}$

Этап 1.2.6.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.2.3.1

Разделим $2$ на $- 1$ .

$\cos (x) = - 2$

Этап 1.2.6.2.3

Множество значений косинуса: $- 1 \leq y \leq 1$ . Поскольку $- 2$ не попадает в это множество, решение отсутствует.

No $s o l u t i o n + y = \sin (2 x)$

Этап 1.2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 \sin (x) (- 2 - \cos (x)) = 0$ верно.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 1.2.8

Объединим ответы.

$x = π n$ , для любого целого $n$

Этап 1.3

Вычислим $y$ , когда $x = π n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $π n$ вместо $x$ .

$y = \sin (2 (π n))$

Этап 1.3.2

Избавимся от скобок.

$y = \sin (2 π n)$

Этап 1.4

Перечислим все решения.

$y = \sin (2 π n), x = π n$

Этап 2

Область между данными кривыми не ограничена.

Неограниченная область

Этап 3